Q15: Seja p(x)=4+14 x+6 x^{2} e
\beta=\left\{-1-3 x+x^{2}, 3+8 x-5 x^{2},-1-2 x+5 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) -4
(C) 1
(D) 2
(E) 4
(F) -2
(G) -1
(H) -3

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio p(x)=4+14x+6x^{2} e a base \beta=\{\,-1-3x+x^{2},\;3+8x-5x^{2},\;-1-2x+5x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Denotando [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, o que o problema pede é: encontrar o valor de c tal que
a(-1-3x+x^{2})+b(3+8x-5x^{2})+c(-1-2x+5x^{2})=p(x).
As informações relevantes são:
  • p(x)=4+14x+6x^{2}.
  • \beta_1=-1-3x+x^{2}.
  • \beta_2=3+8x-5x^{2}.
  • \beta_3=-1-2x+5x^{2}.
  • Precisamos obter a coordenada c do terceiro vetor da base.

Passo 2

Definição e montagem do sistema: as coordenadas (a,b,c) significam que p é combinação linear dos vetores da base, isto é
a(-1-3x+x^{2})+b(3+8x-5x^{2})+c(-1-2x+5x^{2})=4+14x+6x^{2}.
A estratégia é igualar coeficientes de 1, de x e de x^{2} nos dois lados (porque polinômios iguais têm todos os coeficientes iguais). Fazendo isso obtemos o sistema linear em a,b,c:
\begin{cases} \text{constante: } & -a+3b-c=4,\\[4pt] \text{coef. de }x: & -3a+8b-2c=14,\\[4pt] \text{coef. de }x^{2}: & a-5b+5c=6. \end{cases}]

Passo 3

Eliminação inteligente: quero eliminar a somando a primeira e a terceira equação, porque nelas os termos em a têm sinais opostos. Somando:
(-a+3b-c)+(a-5b+5c)=4+6.
No lado esquerdo -a+a=0, então sobra
-2b+4c=10.
Divide por 2 para simplificar:
-b+2c=5.
Isolando b:
b=2c-5.

Passo 4

Expressar a em função de c: usamos a primeira equação -a+3b-c=4 e substituímos b=2c-5:
-a+3(2c-5)-c=4.
Calcule passo a passo:
-a+6c-15-c=4 \quad\Rightarrow\quad -a+5c-15=4 \quad\Rightarrow\quad -a+5c=19.
Isolando a:
a=5c-19.

Passo 5

Substituir a e b na segunda equação para determinar c: a segunda equação é -3a+8b-2c=14. Substituindo a=5c-19 e b=2c-5:
-3(5c-19)+8(2c-5)-2c=14.
Calcule cada termo:
-15c+57 +16c-40 -2c =14.
Agrupando os termos em c e as constantes:
(-15+16-2)c + (57-40) =14 \quad\Rightarrow\quad -1\cdot c +17 =14.
Logo
-c = -3 \quad\Rightarrow\quad c=3.

Passo 6

Verificação rápida (para me deixar mais confiante): com c=3 temos b=2c-5=1 e a=5c-19=-4. Somando as combinações:
-4(-1-3x+x^{2}) + 1(3+8x-5x^{2}) + 3(-1-2x+5x^{2})
fazendo as contas dá 4+14x+6x^{2}, que é exatamente p(x). Portanto c=3 está correto.

Resposta

3

Exercícios relacionados