Q15: Seja p(x)=4+14 x+6 x^{2} e \beta=\left\{-1-3 x+x^{2}, 3+8 x-5 x^{2},-1-2 x+5 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) -4
(C) 1
(D) 2
(E) 4
(F) -2
(G) -1
(H) -3
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio p(x)=4+14x+6x^{2} e a base \beta=\{\,-1-3x+x^{2},\;3+8x-5x^{2},\;-1-2x+5x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Denotando [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, o que o problema pede é: encontrar o valor de c tal que
A estratégia é igualar coeficientes de 1, de x e de x^{2} nos dois lados (porque polinômios iguais têm todos os coeficientes iguais). Fazendo isso obtemos o sistema linear em a,b,c:
\begin{cases} \text{constante: } & -a+3b-c=4,\\[4pt] \text{coef. de }x: & -3a+8b-2c=14,\\[4pt] \text{coef. de }x^{2}: & a-5b+5c=6. \end{cases}]
Passo 3
Eliminação inteligente: quero eliminar a somando a primeira e a terceira equação, porque nelas os termos em a têm sinais opostos. Somando:
(-a+3b-c)+(a-5b+5c)=4+6.
No lado esquerdo -a+a=0, então sobra
-2b+4c=10.
Divide por 2 para simplificar:
-b+2c=5.
Isolando b:
b=2c-5.
Passo 4
Expressar a em função de c: usamos a primeira equação -a+3b-c=4 e substituímos b=2c-5: