Determine, em cada caso, uma função f sabendo que f^prime(x) é contínua e que:
f(0)=1 e integral(1+x^2) f^prime(x) d x=x+K, com K in R;

Passo 1

O enunciado nos dá que f'(x) é contínua, que f(0)=1 e que a primitiva de (1+x^2)f'(x) é
integral (1+x^2)f'(x),dx = x + K
O conteúdo aqui é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar integral indefinida e derivada.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da derivada, obtemos
ddxl[integral (1+x^2)f'(x),dxr] = ddx[,x+K,] Longrightarrow (1+x^2),f'(x)=1

Passo 3

Isolando f'(x), vem
f'(x)=11+x^2

Passo 4

Agora integramos f'(x) para achar f(x):
f(x)=integral 11+x^2,dx =arctan x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição inicial f(0)=1. Como arctan(0)=0, temos
f(0)=0+C=1 Longrightarrow C=1

Resposta

A função buscada é
f(x)=1+arctan x

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