Determine os limites abaixo:
lim x infty(x^2-raizx^4-x^2+2)

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(x^2-raizx^4-x^2+2r)
Essa expressão é do tipo infty-infty, então vamos usar manipulação algébrica pelo conjugado para resolvê-la.

Passo 2

Escrevemos a diferença multiplicada por 1 na forma do conjugado:
x^2-raizx^4-x^2+2 = l(x^2-raizx^4-x^2+2r)l(x^2+raizx^4-x^2+2r)x^2+raizx^4-x^2+2
com o objetivo de eliminar a raiz no numerador.

Passo 3

No numerador temos
(x^2)^2-l(x^4-x^2+2r) = x^4-x^4+x^2-2 = x^2-2,
logo a expressão fica
x^2-2,x^2+raizx^4-x^2+2,

Passo 4

Para xtoinfty dividimos numerador e denominador por x^2:
x^2-2x^2+raizx^4-x^2+2 = 1-tfrac2x^21+raiz1-tfrac1x^2+tfrac2x^4

Passo 5

Quando xtoinfty temos tfrac2x^2to0 e raiz1-tfrac1x^2+tfrac2x^4to1. Então
limxtoinftyl(x^2-raizx^4-x^2+2r) = 1-01+1 = 12

Resposta

12

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