Calcule as integrais:
Id=integral(-x sen(3 x^2+2)1+cos (3 x^2+2)+x^2 arctg(x^3)1+x^6) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
Id=integrall(-x,sen(3x^2+2)1+cos(3x^2+2)+x^2,arctg(x^3)1+x^6r),dx
Vamos decompor em duas integrais e usar técnicas de substituição e reconhecimento de derivada de composição.

Passo 2

Separemos
Id =integral-x,sen(3x^2+2)1+cos(3x^2+2),dx ;+;integralx^2,arctg(x^3)1+x^6,dx
Para a primeira parte, façamos a substituição
u=3x^2+2, du=6x,dx;Longrightarrow;x,dx=du6
A integral vira
integral-x,sen(u)1+cos(u),dx =-16integralsen(u)1+cos(u),du

Passo 3

Usamos a identidade
sen(u)1+cos(u) =2sin(tfrac u2)cos(tfrac u2)2cos^2(tfrac u2) =tan!l(tfrac u2r)
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-16integraltan!l(tfrac u2r),du =-16cdotl(-2lnl|cos(tfrac u2)r|r) =13lnl|cosl(tfrac3x^2+22r)r|

Passo 4

Para a segunda parte note que
ddxl[arctg(x^3)r] =3x^21+x^6,
então
x^2,arctg(x^3)1+x^6 =16cdot 2,arctg(x^3)cdot3x^21+x^6 =16,ddxl[l(arctg(x^3)r)^2r]
Assim
integralx^2,arctg(x^3)1+x^6,dx =16l(arctg(x^3)r)^2

Passo 5

Somando os resultados obtemos
Id =13ln!l|cosl(tfrac3x^2+22r)r| +16l(arctg(x^3)r)^2 +C

Resposta

Id =13ln!l|cosl(tfrac3x^2+22r)r| +16l(arctg(x^3)r)^2 +C

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