Determine, em cada caso, a interseção G \cap H e a soma G+H dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
G=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p(t)=a t^{2}+b t+c, a-c=0\right\} e H=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p(t)=a t^{2}+b t+c, c=0\right\};

Passo 1

O enunciado dá dois subconjuntos de \mathcal{P}_2 (polinômios de grau ≤ 2) com as formas:
  • G=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p(t)=a t^{2}+b t+c,\; a-c=0\right\}.
  • H=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p(t)=a t^{2}+b t+c,\; c=0\right\}.
O que se pede:
  • Determinar a interseção G\cap H.
  • Determinar a soma G+H=\{p+q \mid p\in G,\; q\in H\}.
Informações relevantes dadas:
  • Em G vale a condição a-c=0, ou seja a=c.
  • Em H vale a condição c=0.

Passo 2

Primeiro vou escrever formas paramétricas mais claras dos elementos de G e de H. Isso facilita a manipulação e é algo que dá para fazer rapidamente na prova.
Para G: a condição a-c=0 implica c=a. Então todo p\in G pode ser escrito como
p(t)=a t^{2}+b t+a.
Fatorando, fica
p(t)=a(t^{2}+1)+b\,t.
Isto mostra que cada polinômio em G é combinação linear de t^{2}+1 e de t. Logo, uma descrição conveniente é
G=\{\,a(t^{2}+1)+b\,t \mid a,b\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{\,t^{2}+1,\;t\,\}.
Para H: a condição c=0
p(t)=a t^{2}+b t.
Logo
H=\{\,a t^{2}+b t \mid a,b\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{\,t^{2},\;t\,\}.
Observação rápida (útil na prova): ambas as descrições mostram que G e H são subespaços de \mathcal{P}_2, cada um gerado por dois vetores.

Passo 3

Agora calculo a interseção G\cap H. Um polinômio p(t)=a t^{2}+b t+c pertence a G\cap H se e só se satisfaz simultaneamente as duas condições:
a-c=0\quad\text{e}\quad c=0.
Da segunda condição c=0. Substituindo na primeira obtemos a-0=0, ou seja a=0.
Portanto em G\cap H temos a=0 e c=0, com b livre. Assim
p(t)=0\cdot t^{2}+b t+0=b t.
Logo
G\cap H=\{\,b t \mid b\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{\,t\,\}.
Em palavras: a interseção é o subespaço formado pelos polinômios proporcionais a t (reta através de t).

Passo 4

Agora calculo a soma G+H. Um elemento genérico de G+H é p+q com
p(t)=a t^{2}+b t+a\in G,\qquad q(t)=\alpha t^{2}+\beta t+0\in H.
Somando:
(p+q)(t)=(a+\alpha)\,t^{2}+(b+\beta)\,t+a.
Vou verificar se qualquer polinômio arbitrário de \mathcal{P}_2,
r(t)=u\,t^{2}+v\,t+w,
pode ser escrito nessa forma, isto é se existem a,\alpha,b,\beta\in\mathbb{R} tais que
a+\alpha=u,\qquad b+\beta=v,\qquad a=w.
Pegando a=w (escolha natural, porque o termo constante da soma vem só de p\in G), fica \alpha=u-w, que é um número real qualquer; e para o coeficiente de t basta escolher b e \beta com b+\beta=v (por exemplo b=0,\\ \beta=v). Essas escolhas mostram que para quaisquer u,v,w existe solução. Portanto qualquer r(t)\in\mathcal{P}_2 é soma de um elemento de G e de um de H.
Conclui-se que
G+H=\mathcal{P}_2.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para conferir o raciocínio na prova): usar a fórmula de dimensão para subespaços finito-dimensionais:
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H).
Calculamos antes que \dim G=2 (geradores t^{2}+1 e t), \dim H=2 (geradores t^{2} e t), e \dim(G\cap H)=1 (gerador t). Logo
\dim(G+H)=2+2-1=3.
Como \dim\mathcal{P}_2=3, segue que G+H=\mathcal{P}_2. É um bom check para a resposta anterior.

Resposta

G\cap H=\{b\,t\mid b\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{t\}
G+H=\mathcal{P}_{2}

Exercícios relacionados