Determine, em cada caso, a interseção
e a soma
dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
e
;
Passo 1
O enunciado dá dois subconjuntos de
(polinômios de grau ≤ 2) com as formas:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar a interseção
. - Determinar a soma
.
Informações relevantes dadas:
- Em
vale a condição , ou seja . - Em
vale a condição .
Passo 2
Primeiro vou escrever formas paramétricas mais claras dos elementos de
e de
. Isso facilita a manipulação e é algo que dá para fazer rapidamente na prova.
Para
: a condição
implica
. Então todo
pode ser escrito como
Fatorando, fica
Isto mostra que cada polinômio em
é combinação linear de
e de
. Logo, uma descrição conveniente é
Para
: a condição
dá
Logo
Observação rápida (útil na prova): ambas as descrições mostram que
e
são subespaços de
, cada um gerado por dois vetores.
Passo 3
Agora calculo a interseção
. Um polinômio
pertence a
se e só se satisfaz simultaneamente as duas condições:
Da segunda condição
. Substituindo na primeira obtemos
, ou seja
.
Portanto em
temos
e
, com
livre. Assim
Logo
Em palavras: a interseção é o subespaço formado pelos polinômios proporcionais a
(reta através de
).
Passo 4
Agora calculo a soma
. Um elemento genérico de
é
com
Somando:
Vou verificar se qualquer polinômio arbitrário de
,
pode ser escrito nessa forma, isto é se existem
tais que
Pegando
(escolha natural, porque o termo constante da soma vem só de
), fica
, que é um número real qualquer; e para o coeficiente de
basta escolher
e
com
(por exemplo
). Essas escolhas mostram que para quaisquer
existe solução. Portanto qualquer
é soma de um elemento de
e de um de
.
Conclui-se que
Passo 5
Verificação alternativa (útil para conferir o raciocínio na prova): usar a fórmula de dimensão para subespaços finito-dimensionais:
Calculamos antes que
(geradores
e
),
(geradores
e
), e
(gerador
). Logo
Como
, segue que
. É um bom check para a resposta anterior.