No espaço vetorial \mathbb{R}^{3} com as operações usuais, se G=\{x(1,0,0)+y(0,1,0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} e H=\{(x, x, z) \mid x, z \in \mathbb{R}\}, descreva qual subconjunto de \mathbb{R}^{3} representa a reunião G \cup H e qual representa a interseção G \cap H . G e H são subespaços? G \cup H é subespaço?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • G=\{x(1,0,0)+y(0,1,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
    • H=\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}.
  • Perguntas:
    1. Descrever o subconjunto de \mathbb{R}^{3} que representa a reunião G\cup H.
    2. Descrever o subconjunto de \mathbb{R}^{3} que representa a interseção G\cap H.
    3. Dizer se G e H são subespaços de \mathbb{R}^{3}.
    4. Dizer se G\cup H é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Entender e reescrever G de forma simples.
  • A forma dada para G significa que um vetor de G tem coordenadas x(1,0,0)+y(0,1,0)=(x,y,0).Então G=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
  • Geometricamente, G é o plano formado por todos os pontos com terceira coordenada zero, isto é, o plano z=0 (o plano xy) que passa pela origem.
  • Verificação de que G é subespaço (vai ser bom para a prova — ensinar tipo “cheque os três axiomas”): mostrar que G contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalares.
    • O vetor zero é (0,0,0) e pertence a G (basta x=0,y=0).
    • Se u=(x_1,y_1,0)\in G e v=(x_2,y_2,0)\in G, então u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0)\in G,porque a terceira coordenada continua 0.
    • Se \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,0)\in G, então \lambda u=(\lambda x,\;\lambda y,\;0)\in G.
    • Portanto G é subespaço de \mathbb{R}^3. Também é igual ao span \{(1,0,0),(0,1,0)\}.

Passo 3

Entender e reescrever H de forma simples.
  • Um vetor de H tem forma (x,x,z). Podemos separar os parâmetros x e z: (x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1).Então H=\{x(1,1,0)+z(0,0,1)\mid x,z\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
  • Geometricamente, H é o plano que contém todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são iguais (o plano dado pela equação x=y), e passa pela origem.
  • Verificação de subespaço para H:
    • O vetor zero é (0,0,0)=0(1,1,0)+0(0,0,1)\in H.
    • Se u=(x_1,x_1,z_1)\in H e v=(x_2,x_2,z_2)\in H, então u+v=(x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;z_1+z_2)\in H,pois as duas primeiras coordenadas continuam iguais.
    • Se \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,x,z)\in H, então \lambda u=(\lambda x,\;\lambda x,\;\lambda z)\in H.
    • Portanto H é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Calcular a interseção G\cap H.
  • Um vetor v está em G\cap H se e só se pertence a G e a H ao mesmo tempo.
  • Escrevendo as condições:
    • Pertencer a G implica v=(x,y,0) para alguns x,y.
    • Pertencer a H implica v=(t,t,z) para alguns t,z.
  • Igualando as duas representações, as coordenadas devem coincidir: (x,y,0)=(t,t,z).Assim 0=z \quad\text{e}\quad y=t,\; x=t.Logo x=y=t e z=0.
  • Portanto os vetores na interseção têm a forma (t,t,0),\quad t\in\mathbb{R}.Em outras palavras, G\cap H=\{(t,t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}.
  • Observação: isso é uma reta (um subespaço unidimensional) que é a interseção dos dois planos; como interseção de subespaços, G\cap H é automaticamente subespaço.

Passo 5

Descrever a reunião G\cup H e verificar se é subespaço.
  • A reunião é simplesmente todos os vetores que pertencem ao plano z=0 ou ao plano x=y: G\cup H=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\;\cup\;\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}.Geometricamente, é a união de dois planos que se cruzam na reta \{(t,t,0)\}.
  • Para ser subespaço, G\cup H teria de ser fechado sob soma e multiplicação por escalares. A união de dois subespaços só é subespaço quando um deles está contido no outro. Aqui nenhum está contido no outro (por exemplo (1,0,0)\in G mas (1,0,0)\notin H; e (0,0,1)\in H mas (0,0,1)\notin G).
  • Fornecendo um contraexemplo direto à fechamento por soma: tome u=(1,0,0)\in G\setminus H,\qquad v=(0,0,1)\in H\setminus G.Então u+v=(1,0,1).Verificar se u+v\in G\cup H:
    • Em G exigiria a terceira coordenada igual a 0, mas aqui é 1, logo u+v\notin G.
    • Em H exigiria que as duas primeiras coordenadas fossem iguais; aqui são 1 e 0, não iguais, logo u+v\notin H.
    • Assim u+v\notin G\cup H.
  • Conclusão: G\cup H não é fechado sob soma, logo não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

G\cup H=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\} (a união do plano z=0 com o plano x=y).
G\cap H=\{(t,t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}.
G é subespaço: Sim.
H é subespaço: Sim.
G\cup H é subespaço: Não.

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