No espaço vetorial
com as operações usuais, se
e
, descreva qual subconjunto de
representa a reunião
e qual representa a interseção
e
são subespaços?
é subespaço?
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
. -
.
-
-
Perguntas:
- Descrever o subconjunto de
que representa a reunião . - Descrever o subconjunto de
que representa a interseção . - Dizer se
e são subespaços de . - Dizer se
é subespaço de .
- Descrever o subconjunto de
Passo 2
Entender e reescrever
de forma simples.
- A forma dada para
significa que um vetor de tem coordenadas Então - Geometricamente,
é o plano formado por todos os pontos com terceira coordenada zero, isto é, o plano (o plano ) que passa pela origem. - Verificação de que
é subespaço (vai ser bom para a prova — ensinar tipo “cheque os três axiomas”): mostrar que contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalares. - O vetor zero é
e pertence a (basta ). - Se
e , então porque a terceira coordenada continua . - Se
e , então - Portanto
é subespaço de . Também é igual ao span .
- O vetor zero é
Passo 3
Entender e reescrever
de forma simples.
- Um vetor de
tem forma . Podemos separar os parâmetros e : Então - Geometricamente,
é o plano que contém todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são iguais (o plano dado pela equação ), e passa pela origem. - Verificação de subespaço para
: - O vetor zero é
. - Se
e , então pois as duas primeiras coordenadas continuam iguais. - Se
e , então - Portanto
é subespaço de .
- O vetor zero é
Passo 4
Calcular a interseção
.
- Um vetor
está em se e só se pertence a e a ao mesmo tempo. - Escrevendo as condições:
- Pertencer a
implica para alguns . - Pertencer a
implica para alguns .
- Pertencer a
- Igualando as duas representações, as coordenadas devem coincidir:
Assim Logo e . - Portanto os vetores na interseção têm a forma
Em outras palavras, - Observação: isso é uma reta (um subespaço unidimensional) que é a interseção dos dois planos; como interseção de subespaços,
é automaticamente subespaço.
Passo 5
Descrever a reunião
e verificar se é subespaço.
- A reunião é simplesmente todos os vetores que pertencem ao plano
ou ao plano : Geometricamente, é a união de dois planos que se cruzam na reta . - Para ser subespaço,
teria de ser fechado sob soma e multiplicação por escalares. A união de dois subespaços só é subespaço quando um deles está contido no outro. Aqui nenhum está contido no outro (por exemplo mas ; e mas ). - Fornecendo um contraexemplo direto à fechamento por soma: tome
Então Verificar se : - Em
exigiria a terceira coordenada igual a , mas aqui é , logo . - Em
exigiria que as duas primeiras coordenadas fossem iguais; aqui são e , não iguais, logo . - Assim
.
- Em
- Conclusão:
não é fechado sob soma, logo não é subespaço de .