Determine, em cada caso, a interseção
e a soma
dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
e
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar
. - Determinar
.
As informações dadas (subespaços de
) são:
-
. -
.
Vou usar essas equações para escrever elementos de
e de
em forma paramétrica e então achar a interseção e a soma.
Passo 2
Escrever
em forma paramétrica e extrair uma base.
- Em
temos as igualdades e . Tome parâmetros ou mais conveniente: use e . - Então um vetor genérico em
é
- Escrevendo como combinação linear:
- Portanto
- Verificação rápida de independência: os dois vetores não são múltiplos um do outro (o primeiro tem terceira componente
, o segundo tem primeira componente ), então são linearmente independentes. Logo .
Passo 3
Escrever
em forma paramétrica e extrair uma base.
- Em
a condição é , ou seja . Tome parâmetros . - Então um vetor genérico em
é
- Escrevendo como combinação linear:
- Portanto
- Os três vetores formam um conjunto de três vetores onde claramente o primeiro tem suporte na primeira coordenada que os outros não conseguem combinar, então são linearmente independentes; assim
.
Passo 4
Determinar
resolvendo diretamente as condições simultâneas.
- Um vetor de
tem forma (peguei isso da parametrização de no Passo 2). - Para que esse vetor pertença a
deve satisfazer a equação de :
- Substituindo
obtemos
- Logo
. Não há restrição sobre , que é livre. - Assim os vetores comuns têm a forma
. - Concluímos que
ou seja é um subespaço unidimensional gerado por
.
Passo 5
Interpretar o resultado do Passo 4 em termos de dimensão e base.
- Encontramos
. - Uma base natural para
é .
Passo 6
Determinar
. Usar a fórmula de dimensão para soma de subespaços.
- Fórmula geral: para subespaços
de um espaço vetorial vale
- Substituindo os valores encontrados:
- Como estamos em
, qualquer subespaço de dimensão é todo . Portanto
Passo 7
(Complemento construtivo — mostrar que é intuitivamente razoável que
.)
- Do Passo 2 e do Passo 3, os vetores geradores combinados são
- Já que
, esses geradores permitem expressar qualquer vetor de . Por exemplo, o vetor já está em , e combinando os outros obtém-se as demais direções; isso confirma construtivamente que a soma gera todo .