Determine, em cada caso, a interseção G \cap H e a soma G+H dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
G=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=t, y=2 z\right\} e H=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid y-2 z+t=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar G\cap H.
  • Determinar G+H.
As informações dadas (subespaços de \mathbb{R}^4) são:
  • G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x=t,\; y=2z\}.
  • H=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid y-2z+t=0\}.
Vou usar essas equações para escrever elementos de G e de H em forma paramétrica e então achar a interseção e a soma.

Passo 2

Escrever G em forma paramétrica e extrair uma base.
  • Em G temos as igualdades x=t e y=2z. Tome parâmetros s,z ou mais conveniente: use u=t e v=z.
  • Então um vetor genérico em G é
(x,y,z,t)=(u,2v,v,u).
  • Escrevendo como combinação linear:
(u,2v,v,u)=u(1,0,0,1)+v(0,2,1,0).
  • Portanto
G=\operatorname{span}\{(1,0,0,1),\,(0,2,1,0)\}.
  • Verificação rápida de independência: os dois vetores não são múltiplos um do outro (o primeiro tem terceira componente 0, o segundo tem primeira componente 0), então são linearmente independentes. Logo \dim G=2.

Passo 3

Escrever H em forma paramétrica e extrair uma base.
  • Em H a condição é y-2z+t=0, ou seja y=2z-t. Tome parâmetros a=x,\; b=z,\; c=t.
  • Então um vetor genérico em H é
(x,y,z,t)=(a,\,2b-c,\,b,\,c).
  • Escrevendo como combinação linear:
(a,2b-c,b,c)=a(1,0,0,0)+b(0,2,1,0)+c(0,-1,0,1).
  • Portanto
H=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),\,(0,2,1,0),\,(0,-1,0,1)\}.
  • Os três vetores formam um conjunto de três vetores onde claramente o primeiro tem suporte na primeira coordenada que os outros não conseguem combinar, então são linearmente independentes; assim \dim H=3.

Passo 4

Determinar G\cap H resolvendo diretamente as condições simultâneas.
  • Um vetor de G tem forma (u,2v,v,u) (peguei isso da parametrização de G no Passo 2).
  • Para que esse vetor pertença a H deve satisfazer a equação de H:
y-2z+t=0.
  • Substituindo y=2v,\; z=v,\; t=u obtemos
2v - 2v + u = u = 0.
  • Logo u=0. Não há restrição sobre v, que é livre.
  • Assim os vetores comuns têm a forma (0,2v,v,0)=v(0,2,1,0).
  • Concluímos que
G\cap H=\operatorname{span}\{(0,2,1,0)\},
ou seja é um subespaço unidimensional gerado por (0,2,1,0).

Passo 5

Interpretar o resultado do Passo 4 em termos de dimensão e base.
  • Encontramos \dim(G\cap H)=1.
  • Uma base natural para G\cap H é \{(0,2,1,0)\}.

Passo 6

Determinar G+H. Usar a fórmula de dimensão para soma de subespaços.
  • Fórmula geral: para subespaços G,H de um espaço vetorial vale
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H).
  • Substituindo os valores encontrados:
\dim(G+H)=2+3-1=4.
  • Como estamos em \mathbb{R}^4, qualquer subespaço de dimensão 4 é todo \mathbb{R}^4. Portanto
G+H=\mathbb{R}^4.

Passo 7

(Complemento construtivo — mostrar que é intuitivamente razoável que G+H=\mathbb{R}^4.)
  • Do Passo 2 e do Passo 3, os vetores geradores combinados são
(1,0,0,1),\quad (0,2,1,0),\quad (1,0,0,0),\quad (0,-1,0,1).
  • Já que \dim(G+H)=4, esses geradores permitem expressar qualquer vetor de \mathbb{R}^4. Por exemplo, o vetor (1,0,0,0) já está em H, e combinando os outros obtém-se as demais direções; isso confirma construtivamente que a soma gera todo \mathbb{R}^4.

Resposta

G\cap H=\operatorname{span}\{(0,2,1,0)\}
G+H=\mathbb{R}^4

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