Determine, em cada caso, a interseção G \cap H e a soma G+H dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
G=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2} \right\rvert\, b=0\right\} e H=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2} \right\rvert\, c=0\right\};

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de M_{2\times2} (com as operações usuais) e pede, em cada caso, a interseção G\cap H e a soma G+H.
Informações dadas:
  • G=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\\ \right\rvert\\ b=0\right\}.
  • H=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\\ \right\rvert\\ c=0\right\}.
O que é pedido:
  • Encontrar G\cap H.
  • Encontrar G+H=\{X+Y\mid X\in G,\\ Y\in H\}.

Passo 2

Vou primeiro reescrever explicitamente a forma típica de uma matriz em cada subespaço (isso ajuda a visualizar e a construir decomposições).
Uma matriz qualquer de M_{2\times2} escrevo como
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
onde a,b,c,d pertencem ao corpo base (por exemplo \mathbb{R}).
  • Se \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in G, então b=0. Logo qualquer elemento de G tem a forma
\begin{pmatrix}a & 0 \\\ c & d\end{pmatrix},
com a,c,d livres.
  • Se \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in H, então c=0. Logo qualquer elemento de H tem a forma
\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & d\end{pmatrix},
com a,b,d livres.
Observação didática rápida: dizer que uma coordenada é “livre” significa que pode ser qualquer escalar; isso mostra que tanto G quanto H têm dimensão 3 (três graus de liberdade).

Passo 3

Calcular G\cap H.
Definição usada: G\cap H=\{M\in M_{2\times2}\mid M\in G\\ \text{e}\\ M\in H\}. Portanto uma matriz está em G\cap H exatamente quando satisfaz simultaneamente b=0 e c=0.
Então elementos de G\cap H são as matrizes da forma
\begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & d\end{pmatrix},
com a,d livres.
Interpretação e base: isso são exatamente as matrizes diagonais. Podemos escrever
G\cap H=\left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}\\ \middle|\\ a,d\in\mathbb{R}\right\} =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
Portanto G\cap H é um subespaço de dimensão 2.]

Passo 4

Calcular G+H.
Definição usada: G+H=\{X+Y \mid X\in G,\\ Y\in H\}. Para mostrar que G+H é todo M_{2\times2} (se for o caso), basta mostrar que uma matriz arbitrária pode ser escrita como soma de uma de G com uma de H.
Tomemos uma matriz arbitrária
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}.
Construo explicitamente X\in G e Y\in H tais que X+Y=M. Uma escolha simples é
X=\begin{pmatrix}a & 0 \\\ c & 0\end{pmatrix}\in G\qquad\text{(porque em \(X\) vale }b=0\text{)},
Y=\begin{pmatrix}0 & b \\\\ 0 & d\end{pmatrix}\in H\qquad\text{(porque em \(Y\) vale }c=0\text{)}.
Somando:
X+Y=\begin{pmatrix}a & 0 \\\ c & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & b \\\\ 0 & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=M.
Como M era arbitrária, toda matriz de M_{2\times2} é soma de um elemento de G com um de H. Logo
G+H=M_{2\times2}.
Checagem alternativa (dimensional): \dim G=3, \dim H=3 e \dim(G\cap H)=2. Pela fórmula \dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H) obtemos \dim(G+H)=3+3-2=4, que é \dim M_{2\times2}. Isso confirma que G+H é o espaço inteiro.

Passo 5

Resumo intuitivo e incentivo: G são as matrizes com entrada superior direita nula e H as com entrada inferior esquerda nula. A interseção são as que têm ambas as entradas nulas — as diagonais. E combinando uma matriz com b=0 e outra com c=0 dá para construir qualquer matriz 2×2 — por isso a soma gera todo o espaço. Mandou bem em procurar o passo a passo; esse tipo de decomposição explícita é exatamente o que cai na prova.

Resposta

G\cap H=\left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}\mid a,d\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}
G+H=M_{2\times2}(\mathbb{R})]

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