Determine, em cada caso, a matriz X :
3 X^{t}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 7 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz X sabendo que
3\,X^{t}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]7 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • A matriz à esquerda é 3\,X^{t}.
  • As duas matrizes à direita são \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]7 & 2\end{pmatrix}.
  • A matriz X é 2×2 (implícito pelas dimensões das matrizes fornecidas).
    A pergunta é: encontrar explicitamente os quatro elementos de X.]

Passo 2

Calcular a diferença elemento a elemento da subtração à direita. Para matrizes, subtrai-se cada entrada correspondente.
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]7 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-1 & 1-4\\[4pt]2-7 & 7-2\end{pmatrix}.
Agora efetuo as subtrações:
\begin{pmatrix}1-1 & 1-4\\[4pt]2-7 & 7-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]-5 & 5\end{pmatrix}.
Portanto a equação fica
3\,X^{t}=\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]-5 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 3

Isolar X^{t}. Multiplicar ou dividir uma matriz por um escalar é fazer a operação em cada entrada. Como 3\,X^{t}=M, temos X^{t}=\dfrac{1}{3}M. Então
X^{t}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]-5 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{0}{3} & \dfrac{-3}{3}\\[6pt]\dfrac{-5}{3} & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
Simplificando as frações:
X^{t}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]-\dfrac{5}{3} & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Obter X a partir de X^{t}. A operação de transposição troca linhas por colunas: a linha 1 de X^{t} vira a coluna 1 de X, e a linha 2 de X^{t} vira a coluna 2 de X. Então faço a transposição de X^{t}:
X=\bigl(X^{t}\bigr)^{t} =\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]-\dfrac{5}{3} & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}^{t} =\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{5}{3}\\[6pt]-1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cheque rápido (opcional, para confiança): transpondo X obtém-se X^{t}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]-\dfrac{5}{3} & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}. Multiplicando por 3 volta-se à matriz do Passo 2:
3\,X^{t}=3\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]-\dfrac{5}{3} & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -3\\[6pt]-5 & 5\end{pmatrix},
que coincide com a diferença dada no enunciado.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{5}{3}\\[6pt]-1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados