Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas de equações lineares. Indique claramente cada operação efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema.
\left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =1 \\\\ 4 x+7 y+7 z & =3 \\\\ 2 x+3 y+z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para resolvê‑lo usando o método de eliminação de Gauss, indicando cada operação efetuada na matriz aumentada. O sistema é:
\begin{cases} x+2y+3z=1,\\[4pt] 4x+7y+7z=3,\\[4pt] 2x+3y+z=0.
O que se pede: encontrar (x,y,z) que satisfaçam as três equações, mostrando passo a passo as operações elementares aplicadas à matriz aumentada.]

Passo 2

Passo inicial: montar a matriz aumentada correspondente ao sistema. A matriz aumentada é a matriz dos coeficientes com uma coluna extra para os termos independentes. Escrevendo-a:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 4 & 7 & 7 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0 \end{array}\right].
Lembrete rápido sobre operações de linha permitidas (as operações elementares de linha):
  • trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
  • multiplicar uma linha por uma constante não nula: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
    O objetivo é obter uma forma escalonada por linhas (triangular) para depois fazer substituição regressiva ou detectar inconsistências.]

Passo 3

Eliminação do primeiro coluna abaixo do pivô (o pivô escolhido é o elemento da primeira linha, primeira coluna, que já é 1).
Fazer:
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculemos as novas linhas explicitamente:
  • Para R_2: 4-4\cdot1=0,\; 7-4\cdot2=7-8=-1,\; 7-4\cdot3=7-12=-5,\; 3-4\cdot1=3-4=-1. Então R_2 vira [0\\\ -1\\\ -5\\ |\\\ -1].
  • Para R_3: 2-2\cdot1=0,\; 3-2\cdot2=3-4=-1,\; 1-2\cdot3=1-6=-5,\; 0-2\cdot1= -2. Então R_3 vira [0\\\ -1\\\ -5\\ |\\\ -2].
A matriz após essas operações é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -5 & -1\\[4pt] 0 & -1 & -5 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha, segunda coluna (que é -1) para eliminar o elemento abaixo dele (na linha 3).
Fazer:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calculemos a nova R_3:
0-0=0,\quad -1-(-1)=0,\quad -5-(-5)=0,\quad -2-(-1)=-1.
Portanto R_3 fica [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -1].
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -5 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação da linha final [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -1]: isso corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja, 0 = -1, que é uma contradição impossível. Quando, ao triangular uma matriz aumentada, aparece uma linha com todos os coeficientes nulos na parte esquerda e um termo independente não nulo na coluna da direita, isso significa que o sistema é inconsistente — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações.
Geometricamente, as três equações representam três planos no espaço; a aparição de uma contradição significa que esses planos não têm ponto em comum (não há interseção comum aos três).

Passo 6

Conclusão: não há solução do sistema, pois a eliminação de Gauss produziu a linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -1]. Portanto o sistema é incompatível.

Resposta

Sistema incompatível — sem solução.

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