Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas de equações lineares. Indique claramente cada operação efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema. \left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =1 \\\\ 4 x+7 y+7 z & =3 \\\\ 2 x+3 y+z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para resolvê‑lo usando o método de eliminação de Gauss, indicando cada operação efetuada na matriz aumentada. O sistema é:
O que se pede: encontrar (x,y,z) que satisfaçam as três equações, mostrando passo a passo as operações elementares aplicadas à matriz aumentada.]
Passo 2
Passo inicial: montar a matriz aumentada correspondente ao sistema. A matriz aumentada é a matriz dos coeficientes com uma coluna extra para os termos independentes. Escrevendo-a:
Lembrete rápido sobre operações de linha permitidas (as operações elementares de linha):
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por uma constante não nula: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
O objetivo é obter uma forma escalonada por linhas (triangular) para depois fazer substituição regressiva ou detectar inconsistências.]
Passo 3
Eliminação do primeiro coluna abaixo do pivô (o pivô escolhido é o elemento da primeira linha, primeira coluna, que já é 1).
Interpretação da linha final [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -1]: isso corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja, 0 = -1, que é uma contradição impossível. Quando, ao triangular uma matriz aumentada, aparece uma linha com todos os coeficientes nulos na parte esquerda e um termo independente não nulo na coluna da direita, isso significa que o sistema é inconsistente — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações.
Geometricamente, as três equações representam três planos no espaço; a aparição de uma contradição significa que esses planos não têm ponto em comum (não há interseção comum aos três).
Passo 6
Conclusão: não há solução do sistema, pois a eliminação de Gauss produziu a linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -1]. Portanto o sistema é incompatível.