Determine, em cada caso, a matriz X :
2 X=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]^{t}

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
2X=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{array}\right]^{t}
e pede para determinar a matriz X.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz entre colchetes antes do expoente transposto tem dimensão 2\times3 (duas linhas e três colunas).
  • O operador (\cdot)^{t} indica a transposição da matriz, que troca linhas por colunas.
  • O lado esquerdo tem o escalar 2 multiplicando a matriz X, portanto X tem a mesma dimensão da matriz transposta do lado direito (ou seja, 3\times2).]

Passo 2

Estratégia para isolar X. Quando uma matriz é multiplicada por um escalar 2, para obter a matriz original basta multiplicar ambos os lados por \tfrac{1}{2}. Usando isso, escrevemos
X=\tfrac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{array}\right]^{t}\right).
Aqui usei a propriedade de escalares sobre matrizes: \tfrac{1}{2}(2X)=X. Isso é análogo a dividir ambos os lados da equação por 2.]

Passo 3

Calcular a transposta explícita. A matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{array}\right]
tem transposta obtida trocando linhas por colunas, portanto
A^{t}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right].
Note que A era 2\times3 e A^{t} é 3\times2, como esperado.]

Passo 4

Aplicar o fator \tfrac{1}{2} à matriz transposta. Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada pelo escalar. Assim,
X=\tfrac{1}{2}A^{t}=\tfrac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2}\cdot 1 & \tfrac{1}{2}\cdot 2 \\[6pt] \tfrac{1}{2}\cdot 1 & \tfrac{1}{2}\cdot 3 \\[6pt] \tfrac{1}{2}\cdot 1 & \tfrac{1}{2}\cdot 4\end{array}\right].]

Passo 5

Calcular cada entrada explicitamente:
X=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2} & 1 \\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & 2\end{array}\right].
Verificação rápida (para ficar seguro): multiplicando a matriz X por 2 recupera A^{t},
2X=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right]=A^{t},
logo a solução está correta.]

Resposta

X=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2} & 1 \\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & 2\end{array}\right]]

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