Determine, em cada caso, os pontos onde f é diferenciável. Calcule as derivadas parciais de f nestes pontos, encontrando as funções \tilde{f} e t ou fazendo o cálculo direto, o que lhe parecer mais simples.
f(x, y)=\left(\ln \left(x y^{2}\right)\right)^{2} \cos \left(\ln \left(x y^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\big(\ln(xy^{2})\big)^{2}\cos\big(\ln(xy^{2})\big)
e pede:
  • determinar em quais pontos f é diferenciável;
  • calcular as derivadas parciais de f nesses pontos;
  • opcionalmente expressar f como composição usando funções \tilde{f} e t (ou fazer o cálculo direto).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x,y) em termos de \ln(xy^{2}). Não há figura nem outras restrições além da própria expressão.

Passo 2

Primeiro vamos achar o domínio natural de f, isto é, os pares (x,y) em que a expressão está bem definida. A função \ln(\cdot) exige argumento positivo, logo precisamos de
xy^{2}>0.
Como y^{2}\ge 0 e y^{2}=0 só quando y=0, a condição xy^{2}>0 implica que y\neq 0 e que x tem o mesmo sinal de xy^{2}. Mas y^{2}>0 para y\neq 0, de modo que é necessário x>0. Portanto o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0,\\ y\neq 0\}.

Passo 3

Uma maneira organizada (e recomendada) é escrever f como composição de duas funções reais de variável real e uma aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}. Definimos
t(x,y)=\ln(xy^{2})
e
\tilde{f}(u)=u^{2}\cos u.
Assim
f(x,y)=\tilde{f}\big(t(x,y)\big).
Isto é útil porque podemos usar a regra da cadeia: derivadas de f obtidas a partir de \tilde{f}' e de \nabla t.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de t. Como t(x,y)=\ln(xy^{2}) e xy^{2} é diferenciável em D, aplicamos a regra da derivada do logaritmo:
\frac{\partial t}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{xy^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}) =\frac{1}{xy^{2}}\cdot y^{2}=\frac{1}{x}.
Agora em y:
\frac{\partial t}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{xy^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}) =\frac{1}{xy^{2}}\cdot (2xy)=\frac{2}{y}.
Comentário amigável: repare que dá para ver t=\ln x+2\ln|y| (porque y\neq 0), e daí \partial t/\partial x=1/x e \partial t/\partial y=2/y diretamente — mesmo resultado.

Passo 5

Agora calculamos \tilde{f}'(u). Como \tilde{f}(u)=u^{2}\cos u, usamos a regra do produto e a derivada de \cos:
\tilde{f}'(u)=2u\cos u + u^{2}(-\sin u)=2u\cos u - u^{2}\sin u.
Isso é uma função de u bem definida e contínua para todo u\in\mathbb{R}.

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia para funções compostas: para (x,y)\in D,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\tilde{f}'\big(t(x,y)\big)\cdot\frac{\partial t}{\partial x}(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\tilde{f}'\big(t(x,y)\big)\cdot\frac{\partial t}{\partial y}(x,y).
Substituindo os resultados dos passos anteriores, com u=t(x,y)=\ln(xy^{2}), obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\big(2u\cos u - u^{2}\sin u\big)\cdot\frac{1}{x},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\big(2u\cos u - u^{2}\sin u\big)\cdot\frac{2}{y}.

Passo 7

Sobre diferenciabilidade: \tilde{f} é C^{\infty} em \mathbb{R} e t é C^{\infty} em D, logo a composição f=\tilde{f}\circ t é C^{\infty} em D. Assim f é diferenciável em todos os pontos do domínio D encontrado no Passo 2. Não há pontos fora de D onde f esteja definida, então não precisamos considerar outros pontos.

Passo 8

Opcional: escrever as derivadas de forma compacta deixando explícito u=\ln(xy^{2}):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2u\cos u - u^{2}\sin u}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2\big(2u\cos u - u^{2}\sin u\big)}{y},
com u=\ln(xy^{2}) e (x,y)\in D. (Se quiser, dá para fatorar u em comum.)

Resposta

Pontos de diferenciabilidade: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0,\\ y\neq 0\}
Derivadas parciais (para (x,y) no domínio e com u=\ln(xy^{2})):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2u\cos u - u^{2}\sin u}{x}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2\big(2u\cos u - u^{2}\sin u\big)}{y}

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