Determine, em cada caso, os pontos onde
é diferenciável. Calcule as derivadas parciais de
nestes pontos, encontrando as funções
e
ou fazendo o cálculo direto, o que lhe parecer mais simples.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- determinar em quais pontos
é diferenciável; - calcular as derivadas parciais de
nesses pontos; - opcionalmente expressar
como composição usando funções e (ou fazer o cálculo direto).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
em termos de
. Não há figura nem outras restrições além da própria expressão.
Passo 2
Primeiro vamos achar o domínio natural de
, isto é, os pares
em que a expressão está bem definida. A função
exige argumento positivo, logo precisamos de
Como
e
só quando
, a condição
implica que
e que
tem o mesmo sinal de
. Mas
para
, de modo que é necessário
. Portanto o domínio é
Passo 3
Uma maneira organizada (e recomendada) é escrever
como composição de duas funções reais de variável real e uma aplicação de
em
. Definimos
e
Assim
Isto é útil porque podemos usar a regra da cadeia: derivadas de
obtidas a partir de
e de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Como
e
é diferenciável em
, aplicamos a regra da derivada do logaritmo:
Agora em
:
Comentário amigável: repare que dá para ver
(porque
), e daí
e
diretamente — mesmo resultado.
Passo 5
Agora calculamos
. Como
, usamos a regra do produto e a derivada de
:
Isso é uma função de
bem definida e contínua para todo
.
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia para funções compostas: para
,
Substituindo os resultados dos passos anteriores, com
, obtemos
Passo 7
Sobre diferenciabilidade:
é
em
e
é
em
, logo a composição
é
em
. Assim
é diferenciável em todos os pontos do domínio
encontrado no Passo 2. Não há pontos fora de
onde
esteja definida, então não precisamos considerar outros pontos.
Passo 8
Opcional: escrever as derivadas de forma compacta deixando explícito
:
com
e
. (Se quiser, dá para fatorar
em comum.)
Resposta
Pontos de diferenciabilidade:
Derivadas parciais (para
no domínio e com
):