( \mathbf{2 . 0} pontos) Na engenharia ambiental, a seguinte equação é usada para determinar a concentração de oxigênio em um rio logo após um ponto onde há descarga de esgoto. \mathrm{c}=10-20 \cdot\left(\mathrm{e}^{-0,25 \cdot \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-0,7 \cdot \mathrm{x}}\right)
x é a distância, em km, do local onde há descarga do esgoto.
Determine a distância na qual a concentração de oxigênio assume um valor mínimo. Faça duas iterações usando o método de Newton-Raphson. Adote X_{0}=1 como chute inicial. Fazer 2 iterações e calcule o erro relativo.
(DUAS CASAS DECIMAIS).

Passo 1

O enunciado dá a concentração de oxigênio no rio, função da distância x (em km) a partir do ponto de descarga:
\mathrm{c}(x)=10-20\cdot\bigl(e^{-0,25\cdot x}-e^{-0,7\cdot x}\bigr).
O que pede:
  • Determinar a distância x na qual a concentração assume um valor mínimo.
  • Fazer exatamente duas iterações do método de Newton-Raphson usando o chute inicial X_{0}=1.
  • Calcular o erro relativo (após as duas iterações).
    Dados importantes:
  • Função \mathrm{c}(x) fornecida acima.
  • Chute inicial \,X_{0}=1.
  • Fazer duas iterações e apresentar valores com duas casas decimais.

Passo 2

Como precisamos encontrar o ponto de mínimo de \mathrm{c}(x), o que fazemos na prática é achar um ponto crítico resolvendo \mathrm{c}'(x)=0. O método pedido (Newton-Raphson) é um método para achar raízes de uma função g(x)=0. Aqui tomamos
g(x)=\mathrm{c}'(x),
e aplicamos a iteração de Newton-Raphson:
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}.
Explicando a fórmula de modo simples: em cada iteração calculamos o valor da função g e da sua derivada g' no ponto atual x_n e usamos essa razão para ajustar o chute; isso tende a convergir para uma raiz de g se começarmos razoavelmente perto.

Passo 3

Vamos calcular \mathrm{c}'(x) passo a passo.
A função é
\mathrm{c}(x)=10-20\bigl(e^{-0,25x}-e^{-0,7x}\bigr).
Derivando termo a termo (lembrando que \frac{d}{dx}e^{-ax}=-a e^{-ax}):
\mathrm{c}'(x)=-20\bigl(-0,25e^{-0,25x}+0,7e^{-0,7x}\bigr).
Multiplicando:
\mathrm{c}'(x)=5e^{-0,25x}-14e^{-0,7x}.
Para aplicar Newton precisamos também de g'(x)=\mathrm{c}''(x). Derivando \mathrm{c}'(x):
\mathrm{c}''(x)=-1,25e^{-0,25x}+9,8e^{-0,7x}.

Passo 4

Resumindo as funções que usaremos nas iterações:
g(x)=\mathrm{c}'(x)=5e^{-0,25x}-14e^{-0,7x}, \qquad g'(x)=\mathrm{c}''(x)=-1,25e^{-0,25x}+9,8e^{-0,7x}.
A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{5e^{-0,25x_n}-14e^{-0,7x_n}}{-1,25e^{-0,25x_n}+9,8e^{-0,7x_n}}.

Passo 5

Primeira iteração ( n=0), com x_0=1.
Calcule os exponenciais:
e^{-0,25\cdot 1}=e^{-0,25}\approx 0,7788007831, \qquad e^{-0,7\cdot 1}=e^{-0,7}\approx 0,4965853038.
Calcule g(x_0) e g'(x_0):
g(1)=5\cdot 0,7788007831-14\cdot 0,4965853038 \approx 3,8940039155-6,9521942532=-3,0581903377.
g'(1)=-1,25\cdot 0,7788007831+9,8\cdot 0,4965853038 \approx -0,9735009789+4,8674549722=3,8939539933.
Aplicando Newton:
x_1=1-\frac{-3,0581903377}{3,8939539933}=1+0,785590933\approx 1,785590933.

Passo 6

Segunda iteração ( n=1), com x_1\approx 1,785590933.
Calcule os exponenciais em x_1:
e^{-0,25x_1}=e^{-0,44639773325}\approx 0,6399376,
e^{-0,7x_1}=e^{-1,2499136531}\approx 0,2865292.
(estes valores foram obtidos aproximando e^{a} por série e invertendo quando necessário; são suficientes para duas casas decimais finais.)
Calcule g(x_1) e g'(x_1):
g(x_1)=5\cdot 0,6399376-14\cdot 0,2865292 \approx 3,1996880-4,0114088=-0,8117208.
g'(x_1)=-1,25\cdot 0,6399376+9,8\cdot 0,2865292 \approx -0,7999220+2,8079862=2,0080642.
Aplicando Newton:
x_2=x_1-\frac{g(x_1)}{g'(x_1)} \approx 1,785590933-\frac{-0,8117208}{2,0080642} \approx 1,785590933+0,40428156=2,189872493.

Passo 7

Agora calculamos o erro relativo entre as últimas duas aproximações. Vou usar a definição comum:
\text{erro relativo}=\left|\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}}\right|.
Substituindo:
|x_2-x_1|=|2,189872493-1,785590933|=0,40428156,
\text{erro relativo}=\frac{0,40428156}{2,189872493}\approx 0,184646\approx 18{,}46\%.

Resposta

x\approx 2,19\\ \text{km}
\text{erro relativo}\approx 18{,}46\%

Exercícios relacionados