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pontos) Na engenharia ambiental, a seguinte equação é usada para determinar a concentração de oxigênio em um rio logo após um ponto onde há descarga de esgoto.
é a distância, em km, do local onde há descarga do esgoto.
Determine a distância na qual a concentração de oxigênio assume um valor mínimo. Faça duas iterações usando o método de Newton-Raphson. Adote
como chute inicial. Fazer 2 iterações e calcule o erro relativo.
(DUAS CASAS DECIMAIS).
Determine a distância na qual a concentração de oxigênio assume um valor mínimo. Faça duas iterações usando o método de Newton-Raphson. Adote
(DUAS CASAS DECIMAIS).
Passo 1
O enunciado dá a concentração de oxigênio no rio, função da distância
(em km) a partir do ponto de descarga:
O que pede:
- Determinar a distância
na qual a concentração assume um valor mínimo. - Fazer exatamente duas iterações do método de Newton-Raphson usando o chute inicial
. - Calcular o erro relativo (após as duas iterações).
Dados importantes: - Função
fornecida acima. - Chute inicial
. - Fazer duas iterações e apresentar valores com duas casas decimais.
Passo 2
Como precisamos encontrar o ponto de mínimo de
, o que fazemos na prática é achar um ponto crítico resolvendo
. O método pedido (Newton-Raphson) é um método para achar raízes de uma função
. Aqui tomamos
e aplicamos a iteração de Newton-Raphson:
Explicando a fórmula de modo simples: em cada iteração calculamos o valor da função
e da sua derivada
no ponto atual
e usamos essa razão para ajustar o chute; isso tende a convergir para uma raiz de
se começarmos razoavelmente perto.
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo.
A função é
A função é
Derivando termo a termo (lembrando que
):
Multiplicando:
Para aplicar Newton precisamos também de
. Derivando
:
Passo 4
Resumindo as funções que usaremos nas iterações:
A fórmula de iteração é
Passo 5
Primeira iteração (
), com
.
Calcule os exponenciais:
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Passo 6
Segunda iteração (
), com
.
Calcule os exponenciais em
:
(estes valores foram obtidos aproximando
por série e invertendo quando necessário; são suficientes para duas casas decimais finais.)
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Passo 7
Agora calculamos o erro relativo entre as últimas duas aproximações. Vou usar a definição comum:
Substituindo: