Determine, em cada caso, os pontos onde
é diferenciável. Calcule as derivadas parciais de
nestes pontos, encontrando as funções
e
ou fazendo o cálculo direto, o que lhe parecer mais simples.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- determinar em quais pontos
é diferenciável; - calcular as derivadas parciais de
nesses pontos; - apresentar a função linear
(diferencial) e a função resto ou fazer o cálculo direto, como for mais simples.
Informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Verificamos o domínio de definição de
. O argumento do logaritmo é
. Como
para todo
, temos
sempre; portanto o logaritmo está bem definido para todo
. Conclusão:
Passo 3
Simplificamos a expressão usando identidades elementares:
logo
Substituindo em
obtemos uma forma mais simples:
Para simplificar a notação, defina
. Então
Passo 4
Argumento sobre diferenciabilidade:
é produto de funções elementares (polinomial e exponencial) que são
em
; portanto
é
em toda reta. A aplicação
é linear (portanto
). A composição de funções
é
. Assim
é
em todo
, isto é, diferenciável em todo ponto
.
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais. Vamos calcular
usando regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Como
e
,
, pelas regras da cadeia:
Substituindo
obtemos as expressões explícitas:
Observação: as derivadas parciais coincidem porque
depende de
e
apenas pela soma
.
Passo 6
Encontrando a função linear
(diferencial em um ponto) e o resto
.
Seja um ponto fixo
e defina
. O gradiente em
é
A aplicação linear
que aproxima
em
é dada por
Agora o resto
é definido por
Para mostrar que
quando
usamos a redução a uma variável: seja
. Então
Pela fórmula de Taylor de ordem 1 com resto de Lagrange para
(que é
), existe
entre
e
tal que
Isto mostra que
onde
(cálculo direto). Como
, segue que
para alguma constante
que depende de um vizinho onde
é limitada. Assim
e a definição de diferenciabilidade fica verificada (além da argumentação anterior via
).
Passo 7
Resumo prático para a prova (como aplicar na hora):
- Simplifique sempre que possível a expressão algébrica antes de derivar; aqui a simplificação
facilita muito. - Reduza a duas ou uma variável quando a função depende de uma combinação linear (
neste caso). - Use regra do produto e da cadeia para obter
e então multiplicar por ou . - Verifique domínio (log exige argumento positivo) e/ou continuidade das derivadas para concluir diferenciabilidade.