Determine, em cada caso, se a série converge ou diverge, justificando.
Passo 1
A questão pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas e usamos técnicas de comparação de termos gerais, além de conhecida expansão de Taylor para funções trigonométricas.
Passo 2
Para séries em que o termo geral envolve
com
, a gente lembra da expansão de Taylor em torno de zero:
Substituindo
$$
1-\cos\bigl(1/n\bigr)=\frac{1}{2n2}+O\bigl(n{-4}\bigr).
$$
Passo 3
Então o termo geral da série se comporta como
quando
é grande, sugerindo comparação com a p-série
, que converge (já que
).
Passo 4
Aplicamos o teste da comparação limite com
. Calculamos:
Como esse limite é finito e positivo,
Passo 5
Portanto, pela comparação limite com a p-série de expoente 2, a série dada converge.
Resposta
A série converge, pois seu termo geral é equivalente a
para
grande e a p-série
converge.