Determine, em cada caso, se a série converge ou diverge, justificando.
sumn=1^infty(1-cos (1 / n))

Passo 1

A questão pede para determinar se a série sumn=1^inftyl(1-cos(1/n)r) converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas e usamos técnicas de comparação de termos gerais, além de conhecida expansão de Taylor para funções trigonométricas.

Passo 2

Para séries em que o termo geral envolve cos(x) com xto0, a gente lembra da expansão de Taylor em torno de zero:
cos(x)=1-x^22+O(x^4)(xto0)
Substituindo x=1/n, para n grande temos
$$
1-\cos\bigl(1/n\bigr)=\frac{1}{2n2}+O\bigl(n{-4}\bigr).
$$

Passo 3

Então o termo geral da série se comporta como tfrac12n^2 quando n é grande, sugerindo comparação com a p-série sum1/n^2, que converge (já que p=2>1).

Passo 4

Aplicamos o teste da comparação limite com bn=1/(2n^2). Calculamos:
limntoinfty1-cos(1/n)1/(2n^2)=1
Como esse limite é finito e positivo, sum(1-cos(1/n)) converge se, e somente se, sum1/(2n^2) converge. Mas sum1/(2n^2)=tfrac12sum1/n^2 é convergente.

Passo 5

Portanto, pela comparação limite com a p-série de expoente 2, a série dada converge.

Resposta

A série converge, pois seu termo geral é equivalente a 1/(2n^2) para n grande e a p-série sum1/n^2 converge.

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