Determine se a sequência converge ou diverege:
an=ln (2+e^n)2 n

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo aqui é determinar se essa sequência converge para um certo valor ou se ela diverge (ou seja, não tem um limite definido). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que 2 + e^n approx e^n cresce muito mais rápido que 2 conforme an approx ln(e^n)2n aumenta. Então, para valores grandes de , o termo 2 se torna insignificante comparado com . Assim, podemos aproximar:
Portanto, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ln(e^n) = n . Uma propriedade dos logaritmos é que an approx n2n . Aplicando isso:
Então, a sequência fica:

Passo 4

Simplificando n2n = 12 , temos:
Isso significa que, para valores grandes de , se aproxima de .

Passo 5

Para confirmar formalmente o limite da sequência, calculamos:
limn to infty ln(2 + e^n)2n
Como limn to infty ln(e^n)2n = limn to infty n2n = 12 domina 2 para grande, temos:

Resposta

A sequência converge para .

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