Determine se a sequência converge ou diverege:
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo aqui é determinar se essa sequência converge para um certo valor ou se ela diverge (ou seja, não tem um limite definido). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que
cresce muito mais rápido que 2 conforme
aumenta. Então, para valores grandes de
, o termo 2 se torna insignificante comparado com
. Assim, podemos aproximar:
Portanto, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Uma propriedade dos logaritmos é que
. Aplicando isso:
Então, a sequência fica:
Passo 4
Simplificando
, temos:
Isso significa que, para valores grandes de
,
se aproxima de
.
Passo 5
Para confirmar formalmente o limite da sequência, calculamos:
Como
domina 2 para
grande, temos:
Resposta
A sequência
converge para
.