1. Determine, em cada caso, se os vetores são LI’s ou LD’s, nos respectivos espaços:
    (e) \left[\begin{array}{rr}1 & -5 \\ -4 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 2 & 2\end{array}\right]\(em\)M_{2 \times 2}.
  2. Se u, v e w são vetores LI’s, mostre que u, u+v e -u+v+w também são LI’s.
  3. Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
    (a) \{(1,1,0,0),(0,0,1,-1)\} em \mathbb{R}^{4};

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais vetores/dados são fornecidos.
  • Item 1(e): Dados três matrizes em M_{2\times2}:
    A=\begin{pmatrix}1 & -5 \\[4pt] -4 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
    Pergunta: determinar se esses três vetores (matrizes) são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD) em M_{2\times2}.
  • Item 2: Dados vetores u,v,w que são LI. Pergunta: mostrar que os vetores u,\;u+v,\;-u+v+w também são LI.
  • Item 3(a): Dado o subconjunto \{(1,1,0,0),\;(0,0,1,-1)\} em \mathbb{R}^4. Pergunta: completar esse subconjunto com vetores (ou dois vetores) de modo a formar um conjunto LI (isto é, obter 4 vetores LI).]

Passo 2

Conceito e método que vou usar (aula rápida e prática):
  • Definição: um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Em símbolos: vetores x_1,\dots,x_k são LI se, sempre que \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k = 0,então \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Se existir alguma combinação não-trivial (algum coeficiente não nulo) que produza o zero, então o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Método prático: escrever uma combinação linear desconhecida igual a zero, traduzir isso em um sistema linear (componentes correspondem) e verificar se só existe solução trivial. Para matrizes em M_{2\times2} posso tratar cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^4 (por exemplo, pela leitura linha a linha ou coluna a coluna) e aplicar o mesmo método.
Agora aplico isso nos itens.

Passo 3

Resolução do item 1(e) (passo a passo, como se fosse na prova).
  1. Escrevo a condição de dependência: suponha que existam escalares a,b,c tais que
aA + bB + cC = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  1. Escrevo isso componente a componente (lendo as entradas linha a linha). As quatro entradas produzem quatro equações em a,b,c. Para a entrada (1,1) (primeira linha, primeira coluna):
a\cdot 1 + b\cdot 1 + c\cdot 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad a + b + 3c = 0.
Para a entrada (1,2) (primeira linha, segunda coluna):
a\cdot(-5) + b\cdot 2 + c\cdot(-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad -5a + 2b - c = 0.
Para a entrada (2,1) (segunda linha, primeira coluna):
a\cdot(-4) + b\cdot 3 + c\cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -4a + 3b + 2c = 0.
Para a entrada (2,2) (segunda linha, segunda coluna):
a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad b + 2c = 0.
  1. Resolvo o sistema. Da última equação tenho
b + 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2c.
Substituo em a + b + 3c = 0:
a + (-2c) + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad a + c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -c.
Verifico as outras equações para consistência: substituindo a=-c e b=-2c em -5a + 2b - c
-5(-c) + 2(-2c) - c = 5c -4c - c = 0,
e em -4a + 3b + 2c
-4(-c) + 3(-2c) + 2c = 4c -6c +2c = 0.
Portanto todas as equações são satisfeitas para qualquer valor de c.
  1. Conclusão: existe família infinita de soluções não-triviais (escolhendo c\neq 0); logo A,B,C são linearmente dependentes. Posso expor explicitamente uma relação não-trivial escolhendo c=1: então a=-1, b=-2, e obtemos
-1\cdot A -2\cdot B + 1\cdot C = 0,
ou seja
C = A + 2B,
que mostra diretamente a dependência linear.]

Passo 4

Resolução do item 2 (mostrar que u,\;u+v,\;-u+v+w são LI quando u,v,w são LI).
  1. Vou usar a definição: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha u + \beta (u+v) + \gamma (-u+v+w) = 0.
  1. Expando a combinação:
\alpha u + \beta u + \beta v - \gamma u + \gamma v + \gamma w = 0.
Agrupando termos de u,v,w:
(\alpha + \beta - \gamma)\,u + (\beta + \gamma)\,v + \gamma\,w = 0.
  1. Como u,v,w são LI por hipótese, a única maneira dessa combinação ser o vetor zero é que os coeficientes dos três vetores sejam todos zero. Logo obtemos o sistema de coeficientes:
\alpha + \beta - \gamma = 0,\qquad \beta + \gamma = 0,\qquad \gamma = 0.
  1. Da terceira equação \gamma=0. Substituindo na segunda obtemos \beta=0. Substituindo essas duas na primeira dá \alpha=0. Assim \alpha=\beta=\gamma=0, a única solução possível.
  2. Conclusão: a combinação trivial é a única que anula a soma, portanto os vetores u,\;u+v,\;-u+v+w são linearmente independentes.

Passo 5

Resolução do item 3(a) (completar o conjunto em \mathbb{R}^4 para ficar LI), com escolha explícita e justificativa.
  1. Temos os dois vetores dados:
v_1=(1,1,0,0),\qquad v_2=(0,0,1,-1).
Queremos acrescentar dois vetores x e y para obter quatro vetores LI em \mathbb{R}^4.
  1. Estratégia simples e segura: escolher dois vetores canônicos que tragam informações independentes das já presentes. Por exemplo escolho
x=(1,0,0,0),\qquad y=(0,0,0,1).
Vou provar que o conjunto \{v_1,v_2,x,y\} é LI.
  1. Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma x + \delta y = 0.
Escrevendo componente a componente (as quatro componentes em \mathbb{R}^4) obtemos:
  • componente 1: \alpha\cdot 1 + \gamma\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \gamma = 0.
  • componente 2: \alpha\cdot 1 + 0 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 0.
  • componente 3: \beta\cdot 1 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = 0.
  • componente 4: \beta\cdot(-1) + \delta\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -\beta + \delta = 0.
  1. Das equações: de \alpha=0 segue \gamma=0 (pela primeira); de \beta=0 segue \delta=0 (pela quarta). Logo todos os coeficientes são zero, só existe a combinação trivial.
  2. Conclusão: o conjunto
\{(1,1,0,0),\;(0,0,1,-1),\;(1,0,0,0),\;(0,0,0,1)\}
é linearmente independente em \mathbb{R}^4. Assim completei o subconjunto pedido.

Resposta

1(e) Linearmente dependentes; relação: \displaystyle \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -5\\[4pt]-4 & 0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.
2) u,\;u+v,\;-u+v+w são linearmente independentes.
3(a) Uma das possíveis conclusões: \{(1,1,0,0),\;(0,0,1,-1),\;(1,0,0,0),\;(0,0,0,1)\} é um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^4.]

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