- Determine, em cada caso, se os vetores são LI’s ou LD’s, nos respectivos espaços:
(e)
.
- Se
e
são vetores LI’s, mostre que
e
também são LI’s.
- Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
(a)
em
;
(e) .
(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais vetores/dados são fornecidos.
-
Item 1(e): Dados três matrizes em
: Pergunta: determinar se esses três vetores (matrizes) são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD) em. -
Item 2: Dados vetores
que são LI. Pergunta: mostrar que os vetores também são LI. -
Item 3(a): Dado o subconjunto
em . Pergunta: completar esse subconjunto com vetores (ou dois vetores) de modo a formar um conjunto LI (isto é, obter 4 vetores LI).]
Passo 2
Conceito e método que vou usar (aula rápida e prática):
- Definição: um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Em símbolos: vetores
são LI se, sempre que então . - Se existir alguma combinação não-trivial (algum coeficiente não nulo) que produza o zero, então o conjunto é linearmente dependente (LD).
- Método prático: escrever uma combinação linear desconhecida igual a zero, traduzir isso em um sistema linear (componentes correspondem) e verificar se só existe solução trivial. Para matrizes em
posso tratar cada matriz como um vetor em (por exemplo, pela leitura linha a linha ou coluna a coluna) e aplicar o mesmo método.
Agora aplico isso nos itens.
Passo 3
Resolução do item 1(e) (passo a passo, como se fosse na prova).
- Escrevo a condição de dependência: suponha que existam escalares
tais que
- Escrevo isso componente a componente (lendo as entradas linha a linha). As quatro entradas produzem quatro equações em
. Para a entrada (primeira linha, primeira coluna):
Para a entrada
(primeira linha, segunda coluna):
Para a entrada
(segunda linha, primeira coluna):
Para a entrada
(segunda linha, segunda coluna):
- Resolvo o sistema. Da última equação tenho
Substituo em
:
Verifico as outras equações para consistência: substituindo
e
em
dá
e em
dá
Portanto todas as equações são satisfeitas para qualquer valor de
.
- Conclusão: existe família infinita de soluções não-triviais (escolhendo
); logo são linearmente dependentes. Posso expor explicitamente uma relação não-trivial escolhendo : então , , e obtemos
ou seja
que mostra diretamente a dependência linear.]
Passo 4
Resolução do item 2 (mostrar que
são LI quando
são LI).
- Vou usar a definição: suponha que existam escalares
tais que
- Expando a combinação:
Agrupando termos de
:
- Como
são LI por hipótese, a única maneira dessa combinação ser o vetor zero é que os coeficientes dos três vetores sejam todos zero. Logo obtemos o sistema de coeficientes:
-
Da terceira equação
. Substituindo na segunda obtemos . Substituindo essas duas na primeira dá . Assim , a única solução possível. -
Conclusão: a combinação trivial é a única que anula a soma, portanto os vetores
são linearmente independentes.
Passo 5
Resolução do item 3(a) (completar o conjunto em
para ficar LI), com escolha explícita e justificativa.
- Temos os dois vetores dados:
Queremos acrescentar dois vetores
e
para obter quatro vetores LI em
.
- Estratégia simples e segura: escolher dois vetores canônicos que tragam informações independentes das já presentes. Por exemplo escolho
Vou provar que o conjunto
é LI.
- Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo componente a componente (as quatro componentes em
) obtemos:
- componente 1:
- componente 2:
- componente 3:
- componente 4:
-
Das equações: de
segue (pela primeira); de segue (pela quarta). Logo todos os coeficientes são zero, só existe a combinação trivial. -
Conclusão: o conjunto
é linearmente independente em
. Assim completei o subconjunto pedido.
Resposta
1(e) Linearmente dependentes; relação:
2) são linearmente independentes.
3(a) Uma das possíveis conclusões: é um conjunto linearmente independente em
.]
2)
3(a) Uma das possíveis conclusões: