- Dois usuários de um sistema de filmes são representados por vetores de notas em três categorias:
- Usuário A:
(Ação, Comédia, Drama)
- Usuário B:
(a) Calcule a similaridade entre os perfis usando a similaridade de cosseno.
(b) Quais operações de álgebra linear foram utilizadas? Justifique.
(a) Calcule a similaridade entre os perfis usando a similaridade de cosseno.
(b) Quais operações de álgebra linear foram utilizadas? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (vetores de notas nas três categorias Ação, Comédia, Drama):
- Usuário A:
. - Usuário B:
.
- Usuário A:
-
Perguntas:
- (a) Calcular a similaridade entre os perfis usando a similaridade de cosseno.
- (b) Indicar quais operações de álgebra linear foram utilizadas e justificar.
Passo 2
O que é a similaridade de cosseno e por que usar aqui (explicação didática).
- A similaridade de cosseno mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção, independentemente do seu comprimento. Para vetores
e em a fórmula é:
- Onde:
-
é o produto escalar (dot product) — soma dos produtos das componentes correspondentes. -
é a norma euclidiana (comprimento) do vetor , definida por .
-
- Intuição: o produto escalar vale
, então ao dividir pelo produto das normas obtemos , que varia entre e . Valores próximos de indicam perfis muito alinhados (semelhança alta).
Passo 3
Calcular o produto escalar
passo a passo.
- Escrevendo as componentes:
, . - Produto escalar:
- Computando cada termo e somando:
Passo 4
Calcular as normas euclidianas
e
passo a passo.
- Norma de
:
- Norma de
:
- Observação útil para cálculo: o produto
pode ser escrito como . Isso evita multiplicar aproximações antes de tirar a raiz.
Passo 5
Aplicar a fórmula da similaridade de cosseno e obter o valor exato e aproximado.
- Fórmula:
- Substituindo os valores que calculamos:
- Aproximação numérica (arredondando):
- Interpretação rápida:
é um valor relativamente alto (próximo de ), ou seja, os perfis têm boa similaridade angular — eles tendem a concordar em preferências relativas.
Passo 6
Quais operações de álgebra linear foram usadas — lista e justificativa didática.
- Produto escalar (
): - O que é: soma dos produtos das componentes correspondentes,
. - Por que foi usado: fornece a medida bruta de alinhamento entre os vetores; aparece no numerador da similaridade de cosseno.
- O que é: soma dos produtos das componentes correspondentes,
- Norma euclidiana (
): - O que é: comprimento (magnitude) do vetor.
- Por que foi usada: precisa-se normalizar (dividir pelo produto das normas) para eliminar o efeito do comprimento absoluto dos vetores e ficar apenas com a direção (ângulo) entre eles.
- Operações aritméticas elementares:
- Multiplicação e soma (para calcular o produto escalar).
- Potenciação ao quadrado e soma (para as normas).
- Radiciação (raiz quadrada) para obter as normas.
- Divisão (para formar a razão que dá o cosseno).
- Por que: são as operações necessárias para computar produto escalar e normas a partir das componentes.
- Observação: não foi necessário usar soma de vetores, multiplicação matricial, projeção explícita nem decomposição — apenas produto escalar e normas bastam para a similaridade de cosseno.
Resposta
(a)
\n(b) Produto escalar (dot product); cálculo das normas euclidianas (raiz quadrada da soma dos quadrados); operações aritméticas elementares: multiplicação, soma, raiz quadrada e divisão.