1. Dois usuários de um sistema de filmes são representados por vetores de notas em três categorias:
  • Usuário A: (5,3,2) (Ação, Comédia, Drama)
  • Usuário B: (2,4,5)
    (a) Calcule a similaridade entre os perfis usando a similaridade de cosseno.
    (b) Quais operações de álgebra linear foram utilizadas? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (vetores de notas nas três categorias Ação, Comédia, Drama):
    • Usuário A: \,(5,3,2).
    • Usuário B: \,(2,4,5).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a similaridade entre os perfis usando a similaridade de cosseno.
    • (b) Indicar quais operações de álgebra linear foram utilizadas e justificar.

Passo 2

O que é a similaridade de cosseno e por que usar aqui (explicação didática).
  • A similaridade de cosseno mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção, independentemente do seu comprimento. Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^n a fórmula é:
\text{sim}_{\cos}(\mathbf{u},\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
  • Onde:
    • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (dot product) — soma dos produtos das componentes correspondentes.
    • \|\mathbf{u}\| é a norma euclidiana (comprimento) do vetor \mathbf{u}, definida por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2}.
  • Intuição: o produto escalar vale \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta, então ao dividir pelo produto das normas obtemos \cos\theta, que varia entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam perfis muito alinhados (semelhança alta).

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} passo a passo.
  • Escrevendo as componentes: \mathbf{A}=(5,3,2), \mathbf{B}=(2,4,5).
  • Produto escalar:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=5\cdot2+3\cdot4+2\cdot5.
  • Computando cada termo e somando:
5\cdot2=10,\qquad 3\cdot4=12,\qquad 2\cdot5=10.
\Rightarrow \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=10+12+10=32.

Passo 4

Calcular as normas euclidianas \|\mathbf{A}\| e \|\mathbf{B}\| passo a passo.
  • Norma de \mathbf{A}:
\|\mathbf{A}\|=\sqrt{5^2+3^2+2^2}=\sqrt{25+9+4}=\sqrt{38}.
  • Norma de \mathbf{B}:
\|\mathbf{B}\|=\sqrt{2^2+4^2+5^2}=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}.
  • Observação útil para cálculo: o produto \|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{B}\| pode ser escrito como \sqrt{38}\sqrt{45}=\sqrt{38\cdot45}=\sqrt{1710}. Isso evita multiplicar aproximações antes de tirar a raiz.

Passo 5

Aplicar a fórmula da similaridade de cosseno e obter o valor exato e aproximado.
  • Fórmula:
\text{sim}_{\cos}(\mathbf{A},\mathbf{B})=\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{B}\|}.
  • Substituindo os valores que calculamos:
\text{sim}_{\cos}(\mathbf{A},\mathbf{B})=\frac{32}{\sqrt{38}\,\sqrt{45}}=\frac{32}{\sqrt{1710}}.
  • Aproximação numérica (arredondando):
\sqrt{1710}\approx 41,354\quad\Rightarrow\quad \frac{32}{\sqrt{1710}}\approx 0,774.
  • Interpretação rápida: \,0,774 é um valor relativamente alto (próximo de 1), ou seja, os perfis têm boa similaridade angular — eles tendem a concordar em preferências relativas.

Passo 6

Quais operações de álgebra linear foram usadas — lista e justificativa didática.
  • Produto escalar ( \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}):
    • O que é: soma dos produtos das componentes correspondentes, \sum_{i} A_i B_i.
    • Por que foi usado: fornece a medida bruta de alinhamento entre os vetores; aparece no numerador da similaridade de cosseno.
  • Norma euclidiana ( \|\mathbf{v}\|=\sqrt{\sum_i v_i^2}):
    • O que é: comprimento (magnitude) do vetor.
    • Por que foi usada: precisa-se normalizar (dividir pelo produto das normas) para eliminar o efeito do comprimento absoluto dos vetores e ficar apenas com a direção (ângulo) entre eles.
  • Operações aritméticas elementares:
    • Multiplicação e soma (para calcular o produto escalar).
    • Potenciação ao quadrado e soma (para as normas).
    • Radiciação (raiz quadrada) para obter as normas.
    • Divisão (para formar a razão que dá o cosseno).
    • Por que: são as operações necessárias para computar produto escalar e normas a partir das componentes.
  • Observação: não foi necessário usar soma de vetores, multiplicação matricial, projeção explícita nem decomposição — apenas produto escalar e normas bastam para a similaridade de cosseno.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{32}{\sqrt{1710}}\approx 0,774\n(b) Produto escalar (dot product); cálculo das normas euclidianas (raiz quadrada da soma dos quadrados); operações aritméticas elementares: multiplicação, soma, raiz quadrada e divisão.

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