(a) Mostre que a reunião
é um subespaço vetorial de
se, e somente se, um deles é subconjunto do outro (ou seja, se
ou
).
(b) Mostre que a interseção
e a soma
são sempre subespaços de
.
16. Dê exemplos de subespaços próprios
e
em
tais que
e
quando:
(a)
;
(b) Mostre que a interseção
16. Dê exemplos de subespaços próprios
(a)
Passo 1
O enunciado dá:
e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que a união
é subespaço de se, e somente se, um dos subespaços está contido no outro (ou seja, ou ). - (b) Mostrar que a interseção
e a soma são sempre subespaços de . - (16a) Dar exemplos de subespaços próprios
e de tais que e .
Informações relevantes dadas:
e
já são subespaços de
. Nada mais foi fornecido; todas as demonstrações e o exemplo devem seguir dessa hipótese.
Passo 2
Lembrete e critérios fundamentais (ferramentas que usarei). Um subconjunto
é subespaço vetorial de
exatamente quando satisfaz três condições equivalentes práticas:
-
(em particular, ). - Fechamento por soma: para todo
tem-se . - Fechamento por multiplicação escalar: para todo
(ou corpo sobre o qual está) e todo tem-se .
Vou usar essas propriedades repetidamente. Explicando por quê: se um conjunto satisfaz fechamento por soma e por escalares e contiver o vetor zero (ou for não vazio e essas propriedades segurarem com o zero sendo obtido por
), então é subespaço. Isso é a definição prática que facilita provas.
Passo 3
Prova da direção fácil de (a): se
(ou simetricamente
) então
é subespaço.
Argumento: se
então
. Como
é subespaço por hipótese, a união é subespaço. Mesmo raciocínio se
.
Isto mostra: “se um está contido no outro, a união é subespaço”.
Passo 4
Prova da outra direção de (a): se
é subespaço então necessariamente
ou
.
Suponha, por contradição, que nem
nem
. Então existem vetores
Como
é subespaço, ele é fechado por soma; portanto
. Dois casos possíveis:
- Caso 1:
. Como é subespaço, é fechado por soma e por escalares. Assim, subtraindo (que pertence a ) de obtemos
Isto contradiz a escolha de
(que não pertence a
).
- Caso 2:
. Analogamente, subtraindo obtemos
contradizendo a escolha de
.
Em ambos os casos obtemos contradição. Logo a hipótese de que nenhum está contido no outro é impossível. Portanto deve ocorrer que
ou
.
Conclusão de (a):
é subespaço
ou
.
Passo 5
Prova de (b), primeira parte:
é sempre subespaço.
-
Não vazio: como
e são subespaços, e , então . Logo . -
Fechamento por soma: tome
. Então e , e também e . Como é subespaço, . Como é subespaço, . Portanto . -
Fechamento por escalares: para
e , tem e . Como e são subespaços, e . Logo .
Assim
satisfaz as condições de subespaço.
Passo 6
Prova de (b), segunda parte:
é sempre subespaço. Lembre que
-
Não vazio:
. Assim . -
Fechamento por soma: tome
. Então existem e tais que e . Então
Como
e
são subespaços,
e
. Logo
está novamente na forma de um elemento de
, isto é,
.
- Fechamento por escalares: seja
e com . Então
Como
são subespaços,
e
. Logo
.
Portanto
é subespaço.
Observação útil (para prova em prova):
é o menor subespaço de
que contém
. Isso porque qualquer subespaço que contenha
e
deve conter todas as somas
.
Passo 7
Construção do exemplo pedido em
(questão 16a). Vou dar
e
subespaços próprios (ou seja, distintos de
e de
) com
e
.
Escolha natural: planos que se cruzam numa reta. Defina
- Ambos são subespaços próprios de
: têm dimensão , logo não são nem nem . - Interseção:
e , logo contém pelo menos a reta . Em particular e de fato . - Soma: para ver que
, basta observar que as três coordenadas canônicas estão no somatório: , , . Assim os vetores estão em e formam uma base de , daí . Pelo outro lado trivialmente, logo .
Alternativamente pode-se usar a fórmula de dimensões:
logo
e portanto
.
Passo 8
Resumo final e incentivo: vimos passo a passo as propriedades de subespaços que são usadas em provas de álgebra linear. A ideia central para (a) é usar fechamento por soma na união e provocar uma contradição se existirem elementos exclusivos em cada subespaço. Para (b) a verificação é direta usando que elementos da interseção (ou somas de geradores) ficam fechados nas operações. No exemplo em
escolhemos dois planos que se cruzam numa reta: isso garante soma total e interseção não vazia.
Resposta
(a)
é subespaço de
ou
.
(b) e
são sempre subespaços de
.
(16a) Exemplo em :
,
. Então
e
são subespaços próprios,
e
.
(b)
(16a) Exemplo em