(a) Mostre que a reunião G \cup H é um subespaço vetorial de V se, e somente se, um deles é subconjunto do outro (ou seja, se G \subset H ou H \subset G ).
(b) Mostre que a interseção G \cap H e a soma G+H são sempre subespaços de V.
16. Dê exemplos de subespaços próprios G e H em V tais que G+H=V e G \cap H \neq \emptyset quando:
(a) V=\mathbb{R}^{3};

Passo 1

O enunciado dá: G e H são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. As perguntas são:
  • (a) Mostrar que a união G\cup H é subespaço de V se, e somente se, um dos subespaços está contido no outro (ou seja, G\subset H ou H\subset G).
  • (b) Mostrar que a interseção G\cap H e a soma G+H são sempre subespaços de V.
  • (16a) Dar exemplos de subespaços próprios G e H de V=\mathbb{R}^3 tais que G+H=\mathbb{R}^3 e G\cap H\neq\emptyset.
Informações relevantes dadas: G e H já são subespaços de V. Nada mais foi fornecido; todas as demonstrações e o exemplo devem seguir dessa hipótese.

Passo 2

Lembrete e critérios fundamentais (ferramentas que usarei). Um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial de V exatamente quando satisfaz três condições equivalentes práticas:
  1. W\neq\emptyset (em particular, \mathbf{0}\in W).
  2. Fechamento por soma: para todo u,v\in W tem-se u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: para todo \lambda\in\mathbb{R} (ou corpo sobre o qual V está) e todo u\in W tem-se \lambda u\in W.
Vou usar essas propriedades repetidamente. Explicando por quê: se um conjunto satisfaz fechamento por soma e por escalares e contiver o vetor zero (ou for não vazio e essas propriedades segurarem com o zero sendo obtido por 0\cdot u), então é subespaço. Isso é a definição prática que facilita provas.

Passo 3

Prova da direção fácil de (a): se G\subset H (ou simetricamente H\subset G) então G\cup H é subespaço.
Argumento: se G\subset H então G\cup H = H. Como H é subespaço por hipótese, a união é subespaço. Mesmo raciocínio se H\subset G.
Isto mostra: “se um está contido no outro, a união é subespaço”.

Passo 4

Prova da outra direção de (a): se G\cup H é subespaço então necessariamente G\subset H ou H\subset G.
Suponha, por contradição, que nem G\subset H nem H\subset G. Então existem vetores
x\in G\setminus H\qquad\text{e}\qquad y\in H\setminus G.
Como G\cup H é subespaço, ele é fechado por soma; portanto x+y\in G\cup H. Dois casos possíveis:
  • Caso 1: x+y\in G. Como G é subespaço, G é fechado por soma e por escalares. Assim, subtraindo x (que pertence a G) de x+y obtemos
(x+y)-x = y \in G.
Isto contradiz a escolha de y (que não pertence a G).
  • Caso 2: x+y\in H. Analogamente, subtraindo y\in H obtemos
(x+y)-y = x \in H,
contradizendo a escolha de x.
Em ambos os casos obtemos contradição. Logo a hipótese de que nenhum está contido no outro é impossível. Portanto deve ocorrer que G\subset H ou H\subset G.
Conclusão de (a): G\cup H é subespaço \iff G\subset H ou H\subset G.

Passo 5

Prova de (b), primeira parte: G\cap H é sempre subespaço.
  1. Não vazio: como G e H são subespaços, \mathbf{0}\in G e \mathbf{0}\in H, então \mathbf{0}\in G\cap H. Logo G\cap H\neq\emptyset.
  2. Fechamento por soma: tome u,v\in G\cap H. Então u\in G e u\in H, e também v\in G e v\in H. Como G é subespaço, u+v\in G. Como H é subespaço, u+v\in H. Portanto u+v\in G\cap H.
  3. Fechamento por escalares: para \lambda\in\mathbb{R} e u\in G\cap H, tem u\in G e u\in H. Como G e H são subespaços, \lambda u\in G e \lambda u\in H. Logo \lambda u\in G\cap H.
Assim G\cap H satisfaz as condições de subespaço.

Passo 6

Prova de (b), segunda parte: G+H é sempre subespaço. Lembre que
G+H=\{g+h\mid g\in G,\\ h\in H\}.
  1. Não vazio: \mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}\in G+H. Assim G+H\neq\emptyset.
  2. Fechamento por soma: tome u_1,u_2\in G+H. Então existem g_1,g_2\in G e h_1,h_2\in H tais que u_1=g_1+h_1 e u_2=g_2+h_2. Então
u_1+u_2 = (g_1+h_1)+(g_2+h_2) = (g_1+g_2)+(h_1+h_2).
Como G e H são subespaços, g_1+g_2\in G e h_1+h_2\in H. Logo u_1+u_2 está novamente na forma de um elemento de G+H, isto é, u_1+u_2\in G+H.
  1. Fechamento por escalares: seja \lambda\in\mathbb{R} e u=g+h\in G+H com g\in G,h\in H. Então
\lambda u = \lambda(g+h) = (\lambda g)+(\lambda h).
Como G,H são subespaços, \lambda g\in G e \lambda h\in H. Logo \lambda u\in G+H.
Portanto G+H é subespaço.
Observação útil (para prova em prova): G+H é o menor subespaço de V que contém G\cup H. Isso porque qualquer subespaço que contenha G e H deve conter todas as somas g+h.

Passo 7

Construção do exemplo pedido em \mathbb{R}^3 (questão 16a). Vou dar G e H subespaços próprios (ou seja, distintos de \{0\} e de \mathbb{R}^3) com G+H=\mathbb{R}^3 e G\cap H\neq\emptyset.
Escolha natural: planos que se cruzam numa reta. Defina
G=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\} \quad\text{e}\quad H=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}.
  • Ambos são subespaços próprios de \mathbb{R}^3: têm dimensão 2, logo não são nem \{0\} nem \mathbb{R}^3.
  • Interseção: (0,1,0)\in G e (0,1,0)\in H, logo G\cap H contém pelo menos a reta \operatorname{span}\{(0,1,0)\}. Em particular G\cap H\neq\emptyset e de fato G\cap H=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
  • Soma: para ver que G+H=\mathbb{R}^3, basta observar que as três coordenadas canônicas estão no somatório: (1,0,0)\in G, (0,1,0)\in G\cap H, (0,0,1)\in H. Assim os vetores (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) estão em G+H e formam uma base de \mathbb{R}^3, daí \operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}= \mathbb{R}^3\subset G+H. Pelo outro lado G+H\subset\mathbb{R}^3 trivialmente, logo G+H=\mathbb{R}^3.
Alternativamente pode-se usar a fórmula de dimensões:
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H)=2+2-1=3,
logo \dim(G+H)=3 e portanto G+H=\mathbb{R}^3.

Passo 8

Resumo final e incentivo: vimos passo a passo as propriedades de subespaços que são usadas em provas de álgebra linear. A ideia central para (a) é usar fechamento por soma na união e provocar uma contradição se existirem elementos exclusivos em cada subespaço. Para (b) a verificação é direta usando que elementos da interseção (ou somas de geradores) ficam fechados nas operações. No exemplo em \mathbb{R}^3 escolhemos dois planos que se cruzam numa reta: isso garante soma total e interseção não vazia.

Resposta

(a) G\cup H é subespaço de V \iff G\subset H ou H\subset G.
(b) G\cap H e G+H são sempre subespaços de V.
(16a) Exemplo em \mathbb{R}^3: G=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}, H=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}. Então G e H são subespaços próprios, G+H=\mathbb{R}^3 e G\cap H=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}\neq\emptyset.

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