Determine, em cada caso, a interseção G \cap H e a soma G+H dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
(d) G=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2} \right\rvert\, b=0\right\} e H=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2} \right\rvert\, c=0\right\};
(e) G=\left\{A \in M_{2 \times 2} \mid A\right. é um múltiplo da Identidade \} e \(H=\left\{B \in M_{2 \times 2} \mid b_{11}+b_{12}+\right. \left.b_{22=0}\right\}.
15. Sejam G e H subespaços próprios e distintos de um espaço vetorial arbitrário V.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada item está separado). Não vou resolver ainda; só organizo os dados.
(d) Dados os subespaços de M_{2\times2}
G=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\\ \right|\\ b=0\right\}
e
H=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\\ \right|\\ c=0\right\}.
O enunciado pede: determinar \,G\cap H e G+H.
(e) Dados os subespaços de M_{2\times2}
G=\{\,\lambda I \mid \lambda\in \mathbb{R}\,\}=\{\lambda\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\}
e
H=\left\{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[2pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\\ \bigg|\\ b_{11}+b_{12}+b_{22}=0\right\}.
O enunciado pede: determinar \,G\cap H e G+H. (Vou assumir o corpo \mathbb{R}; se o corpo tiver característica 2 o resultado muda — eu comentarei isso quando for relevante.)
(15) O enunciado informa: “Sejam G e H subespaços próprios e distintos de um espaço vetorial arbitrário V.” Falta na cópia a pergunta, mas o enunciado mais comum associado a essa frase é: mostrar que G\cup H não é subespaço de V. Vou resolver essa versão (se a pergunta for outra, por favor envie depois).]

Passo 2

Começo pelo item (d). Interpretação dos subespaços G e H sob a forma explícita de uma matriz:
  • Um elemento genérico de G tem a forma
\begin{pmatrix}a & 0\\[2pt] c & d\end{pmatrix},
com a,c,d\in\mathbb{R}.
  • Um elemento genérico de H tem a forma
\begin{pmatrix}a' & b'\\[2pt] 0 & d'\end{pmatrix},
com a',b',d'\in\mathbb{R}.
Agora vou usar essas parametrizações para achar a interseção.]

Passo 3

Cálculo de G\cap H (item (d)).
Uma matriz M está em G\cap H se e somente se pertence simultaneamente a G e a H. Então M deve ter as formas acima simultaneamente, isto é, as entradas nos lugares (1,2) e (2,1) têm que satisfazer b=0 e c=0. Portanto uma matriz em G\cap H tem a forma
\begin{pmatrix}a & 0\\[2pt] 0 & d\end{pmatrix},
com a,d\in\mathbb{R}. Em palavras: G\cap H é o subespaço das matrizes diagonais 2\times2.]

Passo 4

Cálculo de G+H (item (d)).
Definição (rápida): para subespaços U e W, U+W=\{u+w\mid u\in U,\\ w\in W\}. Vou somar um elemento genérico de G com um de H:
\begin{pmatrix}a & 0\\[2pt] c & d\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a' & b'\\[2pt] 0 & d'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+a' & b'\\[2pt] c & d+d'\end{pmatrix}.
Observe os graus de liberdade nos quatro coeficientes da soma:
  • A entrada (1,2) é b', que pode ser qualquer número (escolhendo b' arbitrário em H);
  • A entrada (2,1) é c, que pode ser qualquer número (escolhendo c arbitrário em G);
  • As entradas (1,1) e (2,2) são somas de escalares e podem ser ajustadas livremente escolhendo a,a',d,d'.
Logo, dado qualquer
M=\begin{pmatrix}x & y\\[2pt] z & w\end{pmatrix}\in M_{2\times2},
posso escolher a=x, b'=y, c=z, d'=w e todos os outros parâmetros zero, para obter M como soma de um elemento de G e de um de H. Portanto
G+H=M_{2\times2}.]

Passo 5

Conclusão do item (d) (resumindo): já obtive os dois conjuntos pedidos:
  • G\cap H = conjunto das matrizes diagonais \displaystyle\begin{pmatrix}a&0\\[2pt]0&d\end{pmatrix};
  • G+H=M_{2\times2}.]

Passo 6

Agora resolvo o item (e). Primeiro descrevo G e H de forma clara.
  • G=\{\lambda I : \lambda\in\mathbb{R}\} é o subespaço formado por múltiplos escalares da matriz identidade I=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}. É um subespaço unidimensional (gerado por I).
  • H=\left\{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[2pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\\ \middle|\\ b_{11}+b_{12}+b_{22}=0\right\} é o conjunto de matrizes que satisfazem uma única equação linear nos coeficientes; portanto H é um hiperplano de dimensão 3 em M_{2\times2\!} (que tem dimensão 4).
Vou primeiro achar a interseção G\cap H.]

Passo 7

Cálculo de G\cap H (item (e)).
Uma matriz em G tem a forma \lambda I=\begin{pmatrix}\lambda&0\\[2pt]0&\lambda\end{pmatrix}. Para que \lambda I\in H é preciso que
b_{11}+b_{12}+b_{22}=\lambda+0+\lambda=2\lambda=0.
Sobre \mathbb{R} (ou qualquer corpo de característica diferente de 2) isso força \lambda=0. Portanto, sobre \mathbb{R},
G\cap H=\{\mathbf{0}\},
isto é, só a matriz zero está na interseção.
Observação importante (campo de característica 2): se o corpo base tivesse característica 2 então 2\lambda=0 para todo \lambda, de modo que toda \lambda I satisfaria a equação e G\subset H. Como o enunciado não especificou, assumi o caso habitual sobre \mathbb{R}.]

Passo 8

Cálculo de G+H (item (e)) — via construção explícita e via dimensão.
Método direto (construtivo): dado um elemento arbitrário
M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[2pt]m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\in M_{2\times2},
procuro \lambda\in\mathbb{R} e B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[2pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\in H tais que M=\lambda I+B. Isso implica
b_{11}=m_{11}-\lambda,\quad b_{12}=m_{12},\quad b_{21}=m_{21},\quad b_{22}=m_{22}-\lambda.
A condição B\in H exige
b_{11}+b_{12}+b_{22}=(m_{11}-\lambda)+m_{12}+(m_{22}-\lambda)=0.
Rearranjando,
m_{11}+m_{12}+m_{22}-2\lambda=0,
logo
\lambda=\frac{m_{11}+m_{12}+m_{22}}{2}.
Sob \mathbb{R} essa escolha de \lambda é sempre válida; então com esse \lambda e os b_{ij} definidos acima temos M=\lambda I+B com B\in H. Assim qualquer matriz M está em G+H, e portanto
G+H=M_{2\times2}.
Método por dimensão (curto, só para intuição): \dim G=1, \dim H=3, e (pelo Passo 7) G\cap H=\{0\}; portanto
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H)=1+3-0=4,
o que dá G+H=M_{2\times2}.]

Passo 9

Resumindo o item (e) e a observação sobre característica do corpo:
  • Sobre \mathbb{R} (ou qualquer corpo com 2\neq 0) tem-se G\cap H=\{0\} e G+H=M_{2\times2}.
  • Se o corpo tiver característica 2 então G\subset H e, nesse caso, G\cap H=G e G+H=H (não vou desenvolver mais pois o caso usual é sobre \mathbb{R}).

Passo 10

Agora resolvo o exercício 15 (versão: provar que G\cup H não é subespaço quando G e H são subespaços próprios distintos de V).
Primeiro lembro a definição: um subconjunto S de V é subespaço se é fechado sob soma e multiplicação por escalares e contém o vetor zero. Os subespaços G e H são próprios (não iguais a V) e distintos ( G\neq H ).

Passo 11

Prova de que G\cup H não é subespaço.
Como G e H são distintos, existe algum vetor u\in G com u\notin H ou algum v\in H com v\notin G. Escolho u\in G\setminus H e v\in H\setminus G (se apenas uma diferença existir, a prova adapta-se trocando papéis; porque são distintos ambos os conjuntos não coincidem, então existem vetores exclusivos).
Suponha, por contradição, que G\cup H seja subespaço. Então, por ser subespaço, é fechado sob soma; assim u+v\in G\cup H.
Existe então dois casos: u+v\in G ou u+v\in H.
  • Se u+v\in G, então como u\in G e G é subespaço, subtraindo u obtemos v=(u+v)-u\in G. Mas isso contradiz a escolha de v\notin G.
  • Se u+v\in H, então como v\in H e H é subespaço, subtraindo v obtemos u=(u+v)-v\in H. Mas isso contradiz a escolha de u\notin H.
Em ambos os casos surge contradição. Portanto a hipótese de que G\cup H é subespaço é falsa. Assim G\cup H não é um subespaço de V.
Observação: a única situação em que G\cup H é subespaço é quando G\subset H ou H\subset G (isto é, quando a união coincide com um dos subespaços). Aqui os subespaços foram assumidos distintos e próprios, então a união não é subespaço.

Resposta

(d) G\cap H=\left\{\begin{pmatrix}a&0\\[2pt]0&d\end{pmatrix}\mid a,d\in\mathbb{R}\right\}
(d) G+H=M_{2\times2}
(e) G\cap H=\{\mathbf{0}\} (sobre \mathbb{R})
(e) G+H=M_{2\times2}
(15) G\cup H não é subespaço de V quando G e H são subespaços próprios e distintos de V.]

Exercícios relacionados