Determine se cada conjunto de funções (soluções) é ou não linearmente independente nos Reais. \left\{x+1, x^{2}+x, 2 x^{2}-x-3\right\}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto de funções
\{\,x+1,\; x^{2}+x,\; 2x^{2}-x-3\,\}
é ou não linearmente independente sobre os reais. As informações dadas são exatamente essas três funções (polinômios) e a pergunta é simplesmente: elas são linearmente independentes ou linearmente dependentes?
Passo 2
Definição e ideia para testar (explicação didática):
Dizemos que funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha f_{1}(x)+\beta f_{2}(x)+\gamma f_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}
é \alpha=\beta=\gamma=0.
Se existir uma solução com algum coeficiente diferente de zero (uma solução não-trivial), então as funções são linearmente dependentes.
No caso de polinômios, a equação "para todo x" significa que o polinômio resultante é o polinômio zero, então todos os coeficientes (de x^{2},x,1) devem ser zero. Vamos usar isso para montar e resolver um sistema linear em \alpha,\beta,\gamma.
Passo 3
Introduzo escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} e escrevo a combinação linear que deve ser nula:
\alpha(x+1)+\beta(x^{2}+x)+\gamma(2x^{2}-x-3)=0\quad\text{para todo }x.
Passo 4
Faço a expansão e agrupo termos em potências de x. Multiplicando e somando:
\alpha x + \alpha + \beta x^{2} + \beta x + 2\gamma x^{2} - \gamma x - 3\gamma.