Determine se cada conjunto de funções (soluções) é ou não linearmente independente nos Reais.
\left\{x+1, x^{2}+x, 2 x^{2}-x-3\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de funções
\{\,x+1,\; x^{2}+x,\; 2x^{2}-x-3\,\}
é ou não linearmente independente sobre os reais. As informações dadas são exatamente essas três funções (polinômios) e a pergunta é simplesmente: elas são linearmente independentes ou linearmente dependentes?

Passo 2

Definição e ideia para testar (explicação didática):
  • Dizemos que funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha f_{1}(x)+\beta f_{2}(x)+\gamma f_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Se existir uma solução com algum coeficiente diferente de zero (uma solução não-trivial), então as funções são linearmente dependentes.
  • No caso de polinômios, a equação "para todo x" significa que o polinômio resultante é o polinômio zero, então todos os coeficientes (de x^{2},x,1) devem ser zero. Vamos usar isso para montar e resolver um sistema linear em \alpha,\beta,\gamma.

Passo 3

Introduzo escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} e escrevo a combinação linear que deve ser nula:
\alpha(x+1)+\beta(x^{2}+x)+\gamma(2x^{2}-x-3)=0\quad\text{para todo }x.

Passo 4

Faço a expansão e agrupo termos em potências de x. Multiplicando e somando:
\alpha x + \alpha + \beta x^{2} + \beta x + 2\gamma x^{2} - \gamma x - 3\gamma.
Agrupando por graus:
(\beta + 2\gamma)x^{2} + (\alpha + \beta - \gamma)x + (\alpha - 3\gamma)=0.

Passo 5

Como o polinômio acima é igual ao polinômio zero para todo x, igualamos coeficientes de cada potência de x a zero, obtendo o sistema
\begin{cases} \beta + 2\gamma = 0,\\[4pt] \alpha + \beta - \gamma = 0,\\[4pt] \alpha - 3\gamma = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação vem \beta = -2\gamma.
  • Da terceira equação vem \alpha = 3\gamma.
  • Substituo \alpha e \beta na segunda equação:
3\gamma + (-2\gamma) - \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad 0=0,
ou seja, a segunda equação é linearmente dependente das outras duas e não impõe nova restrição.
  • Portanto temos infinitas soluções parametrizadas por \gamma. Tomando \gamma=t obtemos
\alpha=3t,\qquad \beta=-2t,\qquad \gamma=t.
  • Em particular, escolhendo t=1 obtemos uma solução não-trivial \alpha=3,\\ \beta=-2,\\ \gamma=1.

Passo 7

Interpretação:
  • Encontramos uma combinação não-trivial
3(x+1)-2(x^{2}+x)+1\cdot(2x^{2}-x-3)=0
para todo x. Pode-se verificar expandindo que os termos se cancelam e o resultado é o polinômio zero.
  • A existência dessa combinação não-trivial significa que o conjunto de funções é linearmente dependente.
  • Podemos também isolar uma função como combinação das outras: por exemplo, da relação acima
2x^{2}-x-3 = -3(x+1) + 2(x^{2}+x),
mostrando explicitamente que a terceira função é combinação linear das duas primeiras.

Resposta

Linearmente dependentes.

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