Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime \prime}=12

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y^{\prime\prime\prime}=12.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação linear de terceira ordem com termo não homogêneo constante 12.
  • Queremos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular e, então, a solução geral.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, isto é,
y^{\prime\prime\prime}=0.
Integrando sucessivamente:
y''=A,\qquad y'=Ax+B,\qquad y=\frac{A}{2}x^2+Bx+C,
onde A,B,C são constantes. Uma base conveniente de soluções fundamentais para a homogênea é
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=x,\qquad y_3(x)=x^2.
Portanto a solução homogênea pode ser escrita como
y_h=C_1\cdot 1 + C_2\cdot x + C_3\cdot x^2,
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Passo 3

No método da variação dos parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impomos as condições padrão (para eliminar termos de \(u_i'\) nas derivadas de ordem elevada): \[\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2+u_3'y_3=0,\\[4pt] u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_3'y_3'=0,\\[4pt] u_1'y_1''+u_2'y_2''+u_3'y_3''=g(x), \end{cases}
onde g(x)\] é o membro de força da equação não homogênea. Aqui \(g(x)=12.]

Passo 4

Calculamos as derivadas das funções fundamentais:
y_1=1,\quad y_1'=0,\quad y_1''=0,
y_2=x,\quad y_2'=1,\quad y_2''=0,
y_3=x^2,\quad y_3'=2x,\quad y_3''=2.
Substituindo nas condições do passo anterior com g(x)=12 obtemos o sistema para u_1',u_2',u_3':
\begin{cases} u_1' + x\,u_2' + x^2\,u_3' = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' + 1\cdot u_2' + 2x\,u_3' = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' + 0\cdot u_2' + 2\,u_3' = 12. \end{cases}]

Passo 5

Da terceira equação temos diretamente
2\,u_3' = 12 \quad\Rightarrow\quad u_3' = 6.
Integrando,
u_3(x)=\int 6\,dx = 6x + K_3.
Explicação importante (ponto didático): a constante de integração K_3 pode ser tomada nula ao construir y_p, porque qualquer constante multiplicando y_3=x^2 será absorvida na solução homogênea. Então, para a construção de uma particular podemos escolher u_3(x)=6x.

Passo 6

Usando a segunda equação do sistema:
u_2' + 2x\,u_3' = 0.
Substituindo u_3'=6 obtemos
u_2' + 2x\cdot 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad u_2' + 12x = 0.
Integrando,
u_2(x)=\int (-12x)\,dx = -6x^2 + K_2.
Pelo mesmo motivo de antes, podemos tomar K_2=0 ao construir y_p, então u_2(x)=-6x^2.

Passo 7

Agora usamos a primeira equação:
u_1' + x\,u_2' + x^2\,u_3' = 0.
Já temos u_2'=-12x e u_3'=6. Substituindo:
u_1' + x(-12x) + x^2(6)=0 \quad\Rightarrow\quad u_1' -12x^2 +6x^2 =0,
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u_1' = 6x^2.
Integrando,
u_1(x)=\int 6x^2\,dx = 2x^3 + K_1.
Novamente, podemos tomar K_1=0 para a parte particular, ficando u_1(x)=2x^3.

Passo 8

Construímos a solução particular:
y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 = (2x^3)\cdot 1 + (-6x^2)\cdot x + (6x)\cdot x^2.
Calculando termo a termo:
y_p = 2x^3 -6x^3 +6x^3 = 2x^3.
Fazendo uma verificação rápida: (2x^3)''' = 12, portanto y_p está correta.

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + 2x^3,
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + 2x^3

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