onde A,B,C são constantes. Uma base conveniente de soluções fundamentais para a homogênea é
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=x,\qquad y_3(x)=x^2.
Portanto a solução homogênea pode ser escrita como
y_h=C_1\cdot 1 + C_2\cdot x + C_3\cdot x^2,
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.
Passo 3
No método da variação dos parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impomos as condições padrão (para eliminar termos de \(u_i'\) nas derivadas de ordem elevada):
\[\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2+u_3'y_3=0,\\[4pt] u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_3'y_3'=0,\\[4pt] u_1'y_1''+u_2'y_2''+u_3'y_3''=g(x), \end{cases}
onde g(x)\] é o membro de força da equação não homogênea. Aqui \(g(x)=12.]
Passo 4
Calculamos as derivadas das funções fundamentais:
y_1=1,\quad y_1'=0,\quad y_1''=0,
y_2=x,\quad y_2'=1,\quad y_2''=0,
y_3=x^2,\quad y_3'=2x,\quad y_3''=2.
Substituindo nas condições do passo anterior com g(x)=12 obtemos o sistema para u_1',u_2',u_3':
Explicação importante (ponto didático): a constante de integração K_3 pode ser tomada nula ao construir y_p, porque qualquer constante multiplicando y_3=x^2 será absorvida na solução homogênea. Então, para a construção de uma particular podemos escolher u_3(x)=6x.