Sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e \mathrm{A}^{\mathrm{t}} a matriz transposta de A , determine o valor de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} \cdot \mathrm{B}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}. As informações dadas são:
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & -1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
e \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é a transposta de \mathrm{A}. Devemos então:
  1. formar \mathrm{A}^{\mathrm{t}} a partir de \mathrm{A}; 2) verificar dimensões e compatibilidade para multiplicação; 3) calcular cada entrada do produto \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}.]

Passo 2

Vamos formar a transposta \mathrm{A}^{\mathrm{t}}. A transposta troca linhas por colunas: a primeira coluna de \mathrm{A} vira a primeira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}}, a segunda coluna vira a segunda linha, etc. Da matriz \mathrm{A} temos colunas
\text{col}_1(\mathrm{A})=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(\mathrm{A})=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(\mathrm{A})=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Portanto
\mathrm{A}^{\mathrm{t}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificamos dimensões para multiplicar \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}. A matriz \mathrm{A}^{\mathrm{t}} tem dimensão 3\times2 (3 linhas e 2 colunas) e \mathrm{B} tem dimensão 2\times2. A multiplicação é possível quando o número de colunas da primeira iguala o número de linhas da segunda, aqui 2=2. O produto terá dimensão 3\times2.

Passo 4

Recordando a definição do produto: a entrada (i,j) do produto C=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B} é dada por
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2} (\mathrm{A}^{\mathrm{t}})_{ik}\,B_{kj},
ou seja, é o produto escalar entre a linha i de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} e a coluna j de \mathrm{B}. Aqui a soma vai até 2 porque as matrizes envolvidas têm 2 colunas/linhas na interface.

Passo 5

Calculamos a primeira linha de C. A primeira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é (1,0). As colunas de \mathrm{B} são
\text{col}_1(\mathrm{B})=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(\mathrm{B})=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Usando produto escalar:
C_{11}=(1,0)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot 2+0\cdot 1=2,
C_{12}=(1,0)\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}=1\cdot(-1)+0\cdot 0=-1.]

Passo 6

Calculamos a segunda linha de C. A segunda linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é (2,-1). Fazendo os produtos escalares:
C_{21}=(2,-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\cdot 2+(-1)\cdot 1=4-1=3,
C_{22}=(2,-1)\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 0=-2+0=-2.]

Passo 7

Calculamos a terceira linha de C. A terceira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é (-1,2). Fazendo os produtos escalares:
C_{31}=(-1,2)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2+2\cdot 1=-2+2=0,
C_{32}=(-1,2)\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 0=1+0=1.]

Passo 8

Reunindo todas as entradas calculadas, obtemos a matriz produto C=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}:
C=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}]

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