Sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e \mathrm{A}^{\mathrm{t}} a matriz transposta de A , determine o valor de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} \cdot \mathrm{B}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}. As informações dadas são:
e \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é a transposta de \mathrm{A}. Devemos então:
formar \mathrm{A}^{\mathrm{t}} a partir de \mathrm{A}; 2) verificar dimensões e compatibilidade para multiplicação; 3) calcular cada entrada do produto \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}.]
Passo 2
Vamos formar a transposta \mathrm{A}^{\mathrm{t}}. A transposta troca linhas por colunas: a primeira coluna de \mathrm{A} vira a primeira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}}, a segunda coluna vira a segunda linha, etc. Da matriz \mathrm{A} temos colunas
Verificamos dimensões para multiplicar \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}. A matriz \mathrm{A}^{\mathrm{t}} tem dimensão 3\times2 (3 linhas e 2 colunas) e \mathrm{B} tem dimensão 2\times2. A multiplicação é possível quando o número de colunas da primeira iguala o número de linhas da segunda, aqui 2=2. O produto terá dimensão 3\times2.
Passo 4
Recordando a definição do produto: a entrada (i,j) do produto C=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B} é dada por
ou seja, é o produto escalar entre a linha i de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} e a coluna j de \mathrm{B}. Aqui a soma vai até 2 porque as matrizes envolvidas têm 2 colunas/linhas na interface.
Passo 5
Calculamos a primeira linha de C. A primeira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é (1,0). As colunas de \mathrm{B} são