Esboce a região de integração e calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
Informações dadas que vamos usar:
- Os limites externos são
variando de até . - Os limites internos são
variando de até . - A função integranda é
.
Passo 2
Esboço da região de integração (descrição para desenhar):
- No plano
, marque o intervalo em de a e em de a . - A região é um retângulo cujos vértices são
, , , . - Para desenhar: trace os eixos, marque esses pontos e ligue-os formando o retângulo; a integração percorre primeiro verticalmente (em
de a ) para cada fixo, depois varia de a .
Passo 3
Interpretação da integral iterada e propriedades que usaremos:
- A integral escrita é
ou seja, para cada
fixo primeiro calculamos a integral em
de
a
e depois integramos o resultado em
.
- Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes em relação à variável de integração podem ser fatoradas para fora da integral. Isso permite separar
porque ao integrar em
a quantidade
é constante (dependente somente de
) e
também é constante.
Passo 4
Cálculo da integral interna em
:
- Antiderivadas básicas que usaremos:
-
(logaritmo natural), válido para . -
.
-
- Aplicando isso,
Calcule cada parte:
pois
.
Portanto a integral interna resulta em
Passo 5
Cálculo da integral externa em
:
- Agora integramos em
de a :
novamente fatorando constantes.
- Antiderivadas:
-
. -
.
-
- Avaliando os limites:
pois
.
Passo 6
Simplificação final usando
:
Se quiser um valor aproximado,
, então
, mas a forma exata é preferível.