Esboce a região de integração e calcule as integrais.
\int_{1}^{4} \int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os limites externos são x variando de 1 até 4.
  • Os limites internos são y variando de 1 até 2.
  • A função integranda é f(x,y)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}.

Passo 2

Esboço da região de integração (descrição para desenhar):
  • No plano xy, marque o intervalo em x de \,1 a \,4 e em y de \,1 a \,2.
  • A região é um retângulo cujos vértices são (1,1), (4,1), (1,2), (4,2).
  • Para desenhar: trace os eixos, marque esses pontos e ligue-os formando o retângulo; a integração percorre primeiro verticalmente (em y de 1 a 2) para cada x fixo, depois varia x de 1 a 4.

Passo 3

Interpretação da integral iterada e propriedades que usaremos:
  • A integral escrita é
\int_{1}^{4}\left(\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\,dy\right)dx,
ou seja, para cada x fixo primeiro calculamos a integral em y de 1 a 2 e depois integramos o resultado em x.
  • Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes em relação à variável de integração podem ser fatoradas para fora da integral. Isso permite separar
\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\,dy = x\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy+\frac{1}{x}\int_{1}^{2}y\,dy,
porque ao integrar em y a quantidade x é constante (dependente somente de x) e \dfrac{1}{x} também é constante.

Passo 4

Cálculo da integral interna em y:
  • Antiderivadas básicas que usaremos:
    • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy=\ln y (logaritmo natural), válido para y>0.
    • \displaystyle \int y\,dy=\frac{y^2}{2}.
  • Aplicando isso,
\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\,dy = x\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy+\frac{1}{x}\int_{1}^{2}y\,dy.
Calcule cada parte:
x\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy = x\big[\ln y\big]_{1}^{2} = x(\ln 2 - \ln 1)=x\ln 2,
pois \ln 1=0.
\frac{1}{x}\int_{1}^{2}y\,dy = \frac{1}{x}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{x}\cdot\frac{2^2-1^2}{2} = \frac{1}{x}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{2x}.
Portanto a integral interna resulta em
\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\,dy = x\ln 2 + \frac{3}{2x}.

Passo 5

Cálculo da integral externa em x:
  • Agora integramos em x de 1 a 4:
\int_{1}^{4}\left(x\ln 2 + \frac{3}{2x}\right)\,dx = \ln 2\int_{1}^{4}x\,dx + \frac{3}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx,
novamente fatorando constantes.
  • Antiderivadas:
    • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^2}{2}.
    • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln x.
  • Avaliando os limites:
\ln 2\int_{1}^{4}x\,dx = \ln 2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} = \ln 2\cdot\frac{4^2-1^2}{2} = \ln 2\cdot\frac{16-1}{2} = \ln 2\cdot\frac{15}{2}.
\frac{3}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx = \frac{3}{2}\big[\ln x\big]_{1}^{4} = \frac{3}{2}(\ln 4 - \ln 1) = \frac{3}{2}\ln 4,
pois \ln 1=0.

Passo 6

Simplificação final usando \ln 4= \ln(2^2)=2\ln 2:
\ln 2\cdot\frac{15}{2} + \frac{3}{2}\ln 4 = \frac{15}{2}\ln 2 + \frac{3}{2}\cdot 2\ln 2 = \frac{15}{2}\ln 2 + 3\ln 2 = \left(\frac{15}{2}+\frac{6}{2}\right)\ln 2 = \frac{21}{2}\ln 2.
Se quiser um valor aproximado, \ln 2\approx 0,6931, então \dfrac{21}{2}\ln 2\approx 7,279, mas a forma exata é preferível.

Resposta

\displaystyle \frac{21}{2}\ln 2

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