Determine se cada conjunto é linearmente independente ou dependente.
(b) \{(1,1,0),(0,2,3),(1,2,3)\} em \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
\{(1,1,0),\,(0,2,3),\,(1,2,3)\} em \mathbb{R}^3 é linearmente independente ou dependente.
O conteúdo usado será a definição de independência linear e a resolução de um sistema homogêneo associado.

Passo 2

Chamemos os vetores de
v_1 = (1,1,0),\quad v_2 = (0,2,3),\quad v_3 = (1,2,3).
Eles são linearmente dependentes se existirem escalares \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3, nem todos zero, tais que
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = (0,0,0).
Caso contrário, são independentes.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_3 = 0,\\\ \lambda_1 + 2\lambda_2 + 2\lambda_3 = 0,\\\\ 3\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação segue
3\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0 \implies \lambda_2 = -\lambda_3.
Da primeira equação vem
\lambda_1 + \lambda_3 = 0 \implies \lambda_1 = -\lambda_3.
Substituindo \lambda_1 e \lambda_2 na segunda equação:
(-\lambda_3) + 2(-\lambda_3) + 2\lambda_3 = -\lambda_3 = 0 \implies \lambda_3 = 0.
Logo \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.

Passo 5

Como a única solução do sistema homogêneo é \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, não existe combinação não trivial que zere os vetores. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto \{(1,1,0),(0,2,3),(1,2,3)\} é linearmente independente.

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