Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R^2.
binom-21,binom13,binom24

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = -21,,13,,24
e pede para saber se S é um conjunto gerador de R^2. Para isso, precisamos verificar se o subespaço gerado por S tem dimensão 2, ou seja, se o posto da matriz cujas colunas são esses vetores é 2.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de S:
A = -2 & 1 & 2 1 & 3 & 4
Para encontrar o posto, aplicamos eliminação de Gauss:
1. Usamos -2 (em a11) como pivô.
2. Zeramos a21 fazendo L2 L2 + tfrac12,L1.
Isso leva a
-2 & 1 & 2 0 & 3 + tfrac12cdot 1 & 4 + tfrac12cdot2 = -2 & 1 & 2 0 & tfrac72 & 5

Passo 3

Observamos que há dois pivôs não nulos (em -2 e em tfrac72), logo posto(A)=2. Como a dimensão de R^2 é 2, isso implica que o subespaço gerado por S é todo R^2.

Resposta

Sim, ,( -2,1)^T,,(1,3)^T,,(2,4)^T é um conjunto gerador de R^2.\n

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