Calcule a distância entre as retas r1 e r2 abaixo
r1: x+1=y-23=z
r2: x-12=y-23=z3.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r1 e r2 no espaço. Isso é um problema de geometria analítica vetorial, em que usamos a fórmula da distância entre duas retas “garranchadas” (skew lines):
d = l|(P2-P1)cdotl(u1times u2r)r|l|u1times u2r|,,
onde P1,u1 estão em r1 e P2,u2 estão em r2.

Passo 2

Parametrizamos cada reta e identificamos um ponto e um vetor diretor.
Para r1: x+1=tfracy-23=z=t, temos
x = t-1, y = 3t+2, z = t,
logo um ponto em r1 é P1=(-1,2,0) (em t=0) e o vetor diretor é
u1 = (1,3,1)
Para r2: tfracx-12=tfracy-23=tfracz3=s, temos
x = 2s+1, y = 3s+2, z = 3s,
logo um ponto em r2 é P2=(1,2,0) (em s=0) e o vetor diretor é
u2 = (2,3,3)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial u1times u2:
u1times u2 = det i&j&k 1&3&1 2&3&3 = l(3cdot3 - 1cdot3,;-,(1cdot3 - 1cdot2),;1cdot3 - 3cdot2r) = (6,,-1,,-3)
O módulo é
l|u1times u2r| = raiz6^2+(-1)^2+(-3)^2 = raiz46

Passo 4

Calculamos o vetor entre os pontos e o produto escalar:
P2-P1 = (1 - (-1),,2-2,,0-0) = (2,0,0),
(P2-P1)cdotl(u1times u2r) = (2,0,0)cdot(6,-1,-3) = 12

Passo 5

Substituindo na fórmula:
d = l|(P2-P1)cdot(u1times u2)r||u1times u2| = 12raiz46

Resposta

d = 12raiz46

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