O enunciado pede a distância entre as retas e no espaço. Isso é um problema de geometria analítica vetorial, em que usamos a fórmula da distância entre duas retas “garranchadas” (skew lines):
onde P1,u1 estão em r1 e P2,u2 estão em r2.
Passo 2
Parametrizamos cada reta e identificamos um ponto e um vetor diretor.
Para r1: x+1=tfracy-23=z=t, temos
x = t-1, y = 3t+2, z = t,
logo um ponto em r1 é P1=(-1,2,0) (em t=0) e o vetor diretor é
u1 = (1,3,1)
Para r2: tfracx-12=tfracy-23=tfracz3=s, temos
x = 2s+1, y = 3s+2, z = 3s,
logo um ponto em r2 é P2=(1,2,0) (em s=0) e o vetor diretor é
u2 = (2,3,3)
Passo 3
Calculamos o produto vetorial u1times u2:
u1times u2 = det i&j&k 1&3&1 2&3&3 = l(3cdot3 - 1cdot3,;-,(1cdot3 - 1cdot2),;1cdot3 - 3cdot2r) = (6,,-1,,-3)
O módulo é
l|u1times u2r| = raiz6^2+(-1)^2+(-3)^2 = raiz46
Passo 4
Calculamos o vetor entre os pontos e o produto escalar: