Seja A um vetor particular em R^2 times 2. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R^2 times 2.
S3=B in R^2 times 2 / B A=0

Passo 1

O enunciado fixa uma matriz Ain R^2times2 e define
S3=Bin R^2times2mid B,A=0
Queremos verificar se S3 é subespaço de R^2times2. Para isso, usamos a definição: um subconjunto é subespaço se contiver o vetor zero, for fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0 satisfaz
0,A = 0,
logo 0in S3, e S3 não está vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam B1,B2in S3. Então
B1A = 0 e B2A = 0
implicam
(B1+B2)A = B1A + B2A = 0 + 0 = 0,
logo B1+B2in S3.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: para lambdainR e Bin S3 temos
(lambda B)A = lambda,(B A) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda Bin S3.

Resposta

S3 é subespaço de R^2times2.

Exercícios relacionados