Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
O conjunto das funções ímpares em
.
O conjunto das funções ímpares em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço de
. Aqui
é o espaço vetorial das funções contínuas em
, com soma de funções e multiplicação por escalar. Para ser subespaço,
deve conter a função zero e ser fechado em soma e em produto por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero
está em
, pois
então
.
Passo 3
Sejam
e
em
. Então para todo
temos
Logo
também é ímpar e
.
Passo 4
Seja
um escalar real e
. Então para todo
vale
Portanto
também é ímpar e
.
Resposta
O conjunto das funções ímpares em
é um subespaço de
.