Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1,1].
O conjunto das funções ímpares em C[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = fin C[-1,1]mid f(-x) = -f(x) para todo xin[-1,1]
é subespaço de C[-1,1]. Aqui C[-1,1] é o espaço vetorial das funções contínuas em [-1,1], com soma de funções e multiplicação por escalar. Para ser subespaço, S deve conter a função zero e ser fechado em soma e em produto por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero 0(x)=0 está em S, pois
0(-x)=0 = -0 = -,0(x),
então 0in S.

Passo 3

Sejam f e g em S. Então para todo xin[-1,1] temos
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = l(-f(x)r) + l(-g(x)r) = -l(f(x)+g(x)r) = -(f+g)(x)
Logo f+g também é ímpar e f+gin S.

Passo 4

Seja alpha um escalar real e fin S. Então para todo xin[-1,1] vale
(alpha f)(-x) = alpha,f(-x) = alphal(-f(x)r) = -alpha,f(x) = -(alpha f)(x)
Portanto alpha f também é ímpar e alpha fin S.

Resposta

O conjunto das funções ímpares em C[-1,1] é um subespaço de C[-1,1].

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