5 Determine a equação da reta l que passa no ponto P=(1,0,1), interseta perpendicularmente a reta r: x-25=y+14=z-3-1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta l que passa por P=(1,0,1) e intercepta ortogonalmente a reta
r:x-25=y+14=z-3-1
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: usamos forma paramétrica de retas, determinamos o ponto de interseção Q em r e impomos que o vetor diretor de l seja perpendicular ao vetor diretor de r.

Passo 2

Escrevemos a reta r em forma paramétrica. Tomando parâmetro t, um ponto genérico de r é
Q(t)=l(2+5t,,-1+4t,,3-tr)
O vetor diretor de r é
vec vr=(5,4,-1)

Passo 3

O ponto de interseção Q entre l e r deve satisfazer Q=Q(t) para algum t. Como l passa em P, seu vetor diretor será PQ=Q-P. Calculamos
PQ(t)=l(2+5t-1,;-1+4t-0,;3-t-1r)=(1+5t,,-1+4t,;2-t)

Passo 4

Para que l seja perpendicular a r, deve ocorrer
PQ(t)cdotvec vr=0
Fazendo o produto escalar:
(1+5t)cdot5 +(-1+4t)cdot4 +(2-t)cdot(-1)=0 ;Longrightarrow;5+25t-4+16t-2+t=-1+42t=0 ;Longrightarrow;t=tfrac142

Passo 5

Substituindo t=tfrac142 em Q(t), obtemos
Q=l(2+tfrac542,,-1+tfrac442,,3-tfrac142r) =l(tfrac8942,,-tfrac1921,,tfrac12542r)
Logo o vetor diretor de l é
PQ=Q-P =l(tfrac8942-1,;-tfrac1921-0,;tfrac12542-1r) =l(tfrac4742,;-,tfrac1921,;tfrac8342r)
Multiplicando por 42 para simplificar, um vetor diretor equivalente é (47,-38,83).

Passo 6

Finalmente, a equação vetorial de l usando ponto P e vetor diretor (47,-38,83) fica
ell:;(x,y,z)=(1,0,1)+s,(47,-38,83), sinR,
ou na forma simétrica
x-147=y-0-38=z-183

Resposta

ell:;(x,y,z)=(1,0,1)+s,(47,-38,83), sinR,
ou x-147=y-38=z-183

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