6 Obtenha a equação da reta r, contida no plano pi: x-y+z=0 e que interseta as retas r1:ccx+y+2 z & =2 x & =y e r2:ccx-z & =2 y & =0

Passo 1

O enunciado pede a reta
e que interseta as retas
O conteúdo principal é interseção de reta com plano. Vamos, primeiro, encontrar o ponto ; depois a reta será simplesmente a reta que passa por e .

Passo 2

Parametrizamos r1 por x=y=t. Então da equação x+y+2z=2 vem
t + t + 2z = 2 ;Longrightarrow; 2t + 2z = 2 ;Longrightarrow; z = 1 - t
Assim
r1:;(x,y,z) = (t,,t,,1 - t)
Para achar A=r1cappi, impomos x - y + z = 0:
t - t + (1 - t) = 0 ;Longrightarrow; 1 - t = 0 ;Longrightarrow; t = 1
Logo
A = (1,,1,,0)

Passo 3

Parametrizamos r2 por x=s, y=0, z = x - 2 = s - 2. Logo
r2:;(x,y,z) = (s,,0,,s - 2)
Impondo x - y + z = 0 em pi, temos
s - 0 + (s - 2) = 0 ;Longrightarrow; 2s - 2 = 0 ;Longrightarrow; s = 1
Então
B = (1,,0,,-1)

Passo 4

A reta
Logo uma forma paramétrica de é
Podemos escrever também em forma cartesiana:
É fácil conferir que toda essa reta satisfaz .

Resposta

r:;(x,y,z) = (1,,1,,0) + lambda,(0,,-1,,-1),;lambdainR

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