Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é ou não um subespaço de
. As informações dadas são:
- O universo é
. - O conjunto é formado por todos os pares
que satisfazem a relação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (de forma bem prática) a definição de subespaço: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
-
não é vazio (equivalente a conter o vetor nulo ); -
é fechado sob soma: se e , então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Esses três testes são fáceis de aplicar na prova: mostrar que
, provar fechamento por soma com uma conta algébrica, e provar fechamento por escalares com outra conta algébrica.
Passo 3
Testando se o vetor nulo está em
.
Se tomarmos
, então pela equação do conjunto temos
. Logo
satisfaz
. Portanto
Assim
não é vazio e contém o vetor nulo.
Passo 4
Testando fechamento por soma (a parte mais importante). Seja
e
. Pelas hipóteses:
A soma é
Agora verificamos a relação entre as coordenadas dessa soma:
Portanto a primeira coordenada de
é igual a
vezes a segunda coordenada, ou seja
também satisfaz a condição
. Assim
Concluímos que
é fechado sob soma.
Passo 5
Testando fechamento por multiplicação por escalar. Seja
e
com
. Então
Verificamos a relação:
Logo a primeira coordenada de
é
vezes a segunda coordenada, isto é
também satisfaz
. Portanto
Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como já verificamos que
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, pelos critérios do passo 2 concluímos que
é um subespaço de
.
Uma observação extra (útil para a prova): qualquer ponto
pode ser escrito como
portanto
. Ou seja,
é uma reta que passa pela origem — um subespaço unidimensional de
.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.