Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
\{(x, y) ; x=3 y\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto S=\{(x,y);\,x=3y\} é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{2}. As informações dadas são:
  • O universo é \mathbb{R}^{2}.
  • O conjunto é formado por todos os pares (x,y) que satisfazem a relação \,x=3y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (de forma bem prática) a definição de subespaço: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se:
  1. W não é vazio (equivalente a conter o vetor nulo (0,0));
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
Esses três testes são fáceis de aplicar na prova: mostrar que (0,0)\in W, provar fechamento por soma com uma conta algébrica, e provar fechamento por escalares com outra conta algébrica.

Passo 3

Testando se o vetor nulo está em S.
Se tomarmos y=0, então pela equação do conjunto temos x=3\cdot 0=0. Logo (0,0) satisfaz \,x=3y. Portanto
(0,0)\in S.
Assim S não é vazio e contém o vetor nulo.

Passo 4

Testando fechamento por soma (a parte mais importante). Seja u=(x_1,y_1)\in S e v=(x_2,y_2)\in S. Pelas hipóteses:
x_1=3y_1,\qquad x_2=3y_2.
A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora verificamos a relação entre as coordenadas dessa soma:
x_1+x_2=3y_1+3y_2=3(y_1+y_2).
Portanto a primeira coordenada de u+v é igual a 3 vezes a segunda coordenada, ou seja u+v também satisfaz a condição x=3y. Assim
u+v\in S.
Concluímos que S é fechado sob soma.

Passo 5

Testando fechamento por multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in S com x=3y. Então
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y).
Verificamos a relação:
\alpha x=\alpha(3y)=3(\alpha y).
Logo a primeira coordenada de \alpha u é 3 vezes a segunda coordenada, isto é \alpha u também satisfaz x=3y. Portanto
\alpha u\in S.
Assim S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como já verificamos que S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, pelos critérios do passo 2 concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^2.
Uma observação extra (útil para a prova): qualquer ponto (x,y)\in S pode ser escrito como
(x,y)=y(3,1),
portanto S=\operatorname{span}\{(3,1)\}. Ou seja, S é uma reta que passa pela origem — um subespaço unidimensional de \mathbb{R}^2.

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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