Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto abaixo é ou não um subespaço de
:
Informações dadas:
- Os elementos são vectores
em . - Eles satisfazem a equação linear
. - A pergunta é: “S é um subespaço vetorial de
?”
Passo 2
Lembrete (definição útil): um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
-
é não-vazio. -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Uma condição prática e muito usada: todo subespaço deve conter o vetor nulo
. Se o vetor nulo não pertence ao conjunto, então o conjunto não é subespaço. Vou explicar por que isso é suficiente:
- Se
é subespaço, então tomando e , pela propriedade de fechamento por escalar temos . Logo qualquer subespaço contém o vetor nulo. Assim, testar a presença de é um teste rápido: se não estiver, já deu para concluir que não é subespaço.
Passo 3
Aplicando esse teste ao conjunto
: verificar se o vetor nulo
pertence a
. Para pertencer a
deve satisfazer a equação que define
, isto é
. Substituindo os componentes de
:
Mas a equação que define
exige que
. Então
portanto
.
Passo 4
Como
não pertence a
, pelo argumento do passo anterior concluímos que
não pode ser um subespaço de
. (Isto já é suficiente; todo subespaço deve conter o vetor nulo.)
Para fixar a ideia com mais um exemplo concreto: considere o vetor
. Ele satisfaz
, logo
. Se
fosse subespaço, então
deveria também estar em
. Mas
, então
. Isso mostra também que
não é fechado sob multiplicação por escalar, reforçando que não é subespaço.
Resposta
Não é um subespaço de
.