Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
\{(x, y, z) ; x+z=1\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto abaixo é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{3}:
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;;\;x+z=1\}.
Informações dadas:
  • Os elementos são vectores (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}.
  • Eles satisfazem a equação linear x+z=1.
  • A pergunta é: “S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}?”

Passo 2

Lembrete (definição útil): um subconjunto W de \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. W é não-vazio.
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Uma condição prática e muito usada: todo subespaço deve conter o vetor nulo (0,0,0). Se o vetor nulo não pertence ao conjunto, então o conjunto não é subespaço. Vou explicar por que isso é suficiente:
  • Se W é subespaço, então tomando u\in W e \alpha=0, pela propriedade de fechamento por escalar temos 0\cdot u = (0,0,0)\in W. Logo qualquer subespaço contém o vetor nulo. Assim, testar a presença de (0,0,0) é um teste rápido: se não estiver, já deu para concluir que não é subespaço.

Passo 3

Aplicando esse teste ao conjunto S: verificar se o vetor nulo (0,0,0) pertence a S. Para pertencer a S deve satisfazer a equação que define S, isto é x+z=1. Substituindo os componentes de (0,0,0):
0 + 0 = 0.
Mas a equação que define S exige que x+z=1. Então
0 \neq 1,
portanto (0,0,0)\notin S.

Passo 4

Como (0,0,0) não pertence a S, pelo argumento do passo anterior concluímos que S não pode ser um subespaço de \mathbb{R}^{3}. (Isto já é suficiente; todo subespaço deve conter o vetor nulo.)
Para fixar a ideia com mais um exemplo concreto: considere o vetor u=(1,0,0). Ele satisfaz 1+0=1, logo u\in S. Se S fosse subespaço, então 2u=(2,0,0) deveria também estar em S. Mas 2+0=2\neq1, então 2u\notin S. Isso mostra também que S não é fechado sob multiplicação por escalar, reforçando que não é subespaço.

Resposta

Não é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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