Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é: determinar se
é ou não um subespaço de
.
Passo 2
Lembrete prático sobre o que é preciso checar: um subconjunto
é subespaço quando satisfaz três propriedades básicas:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero). -
é fechado para soma: se e então . -
é fechado para multiplicação escalar: se e então .
Vou checar essas três propriedades uma a uma. Cada variável que aparecer será explicada no momento em que for usada.
Passo 3
Verificar se o vetor zero está em
.
O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
temos
que é verdadeiro. Portanto
. Assim a propriedade de não vazio / conter o zero está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
e
. Por hipótese, as coordenadas satisfazem
A soma é
Precisamos verificar se a terceira coordenada da soma é igual à soma das duas primeiras, ou seja, se
Usando as igualdades dadas,
Portanto a igualdade vale e
. Logo
é fechado por soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
com
e seja
um escalar arbitrário. Então
Verificamos a condição para
:
ou seja,
Portanto
também satisfaz a relação
e assim
. Logo
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão e interpretação adicional (ajuda para lembrar na prova).
Como
contém o vetor zero, é fechado para soma e fechado para multiplicação escalar,
é subespaço de
.
Uma maneira prática de ver a mesma coisa: qualquer vetor de
pode ser escrito como
logo
. Isso mostra que
é exatamente o subespaço gerado por esses dois vetores (portanto é um subespaço de dimensão
). Essa forma paramétrica é útil na prova porque transforma a verificação em reconhecer um span.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.