Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
\{(x, y, z) ; z=x+y\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = x+y\}.
A pergunta é: determinar se S é ou não um subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembrete prático sobre o que é preciso checar: um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço quando satisfaz três propriedades básicas:
  1. S não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero).
  2. S é fechado para soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado para multiplicação escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c\,u\in S.
Vou checar essas três propriedades uma a uma. Cada variável que aparecer será explicada no momento em que for usada.

Passo 3

Verificar se o vetor zero está em S.
O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo na condição z=x+y temos
0 = 0 + 0,
que é verdadeiro. Portanto (0,0,0)\in S. Assim a propriedade de não vazio / conter o zero está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1)\in S e v=(x_2,y_2,z_2)\in S. Por hipótese, as coordenadas satisfazem
z_1 = x_1 + y_1\qquad\text{e}\qquad z_2 = x_2 + y_2.
A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Precisamos verificar se a terceira coordenada da soma é igual à soma das duas primeiras, ou seja, se
z_1+z_2 \stackrel{?}{=} (x_1+x_2)+(y_1+y_2).
Usando as igualdades dadas,
z_1+z_2 = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = (x_1+x_2)+(y_1+y_2).
Portanto a igualdade vale e u+v\in S. Logo S é fechado por soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja u=(x,y,z)\in S com z=x+y e seja c\in\mathbb{R} um escalar arbitrário. Então
c\,u = (c x,\; c y,\; c z).
Verificamos a condição para c\,u:
\text{terceira coordenada} = c z = c(x+y) = (c x) + (c y),
ou seja,
c z = (c x) + (c y).
Portanto c\,u também satisfaz a relação z=x+y e assim c\,u\in S. Logo S é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão e interpretação adicional (ajuda para lembrar na prova).
Como S contém o vetor zero, é fechado para soma e fechado para multiplicação escalar, S é subespaço de \mathbb{R}^3.
Uma maneira prática de ver a mesma coisa: qualquer vetor de S pode ser escrito como
(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1),
logo S=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}. Isso mostra que S é exatamente o subespaço gerado por esses dois vetores (portanto é um subespaço de dimensão 2). Essa forma paramétrica é útil na prova porque transforma a verificação em reconhecer um span.

Resposta

Sim, S é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados