No
\mathbb{R}^{2}
, defina-se uma “adição” não usual de vetores
\overrightarrow{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{w}=\left(x_{3}, y_{3}\right)
por:
\overrightarrow{u} \bigoplus \overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}\right)
Verifique se são válidas as propriedades comutativa e associativa do espaço vetorial em tal sistema.
a) Comutativa:
\overrightarrow{u} \oplus \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \bigoplus \overrightarrow{u}
Associativa:
\overrightarrow{u} \bigoplus(\overrightarrow{v} \bigoplus \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u} \bigoplus \overrightarrow{v}) \bigoplus \overrightarrow{w}

Passo 1

O enunciado nos dá no espaço \mathbb{R}^2 três vetores
\overrightarrow{u}=\left(x_{1},y_{1}\right),
\overrightarrow{v}=\left(x_{2},y_{2}\right),
\overrightarrow{w}=\left(x_{3},y_{3}\right) e uma “adição” não usual definida por
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}\right).
As perguntas pedem para verificar as propriedades:
  • Comutativa: \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u} para todos \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}.
  • Associativa: \overrightarrow{u}\bigoplus\bigl(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\bigr)=\bigl(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\bigr)\bigoplus\overrightarrow{w} para todos \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}.

Passo 2

O que significa ser comutativa? Significa que, para quaisquer \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}, a operação dá o mesmo resultado trocando a ordem. Vamos calcular os dois lados usando a definição.
Calcule \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}:
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}\right).
Calcule \overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u}:
\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u}=\left(x_{2}+x_{1},\,y_{2}\right).
Compare componente a componente:
  • A primeira componente: x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1} — isto é sempre verdadeiro porque a soma em \mathbb{R} é comutativa.
  • A segunda componente: y_{1} versus y_{2}. Essas só são iguais se, especificamente, y_{1}=y_{2}.
Portanto, em geral \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u}, a menos que y_{1}=y_{2}. Para deixar mais concreto, um contraexemplo numérico: tome \overrightarrow{u}=(1,0) e \overrightarrow{v}=(2,3). Então
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=(1+2,\,0)=(3,0), \qquad \overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u}=(2+1,\,3)=(3,3),
que são diferentes. Logo a propriedade comutativa não vale em geral.

Passo 3

Agora verifiquemos associatividade. A definição de associatividade pede que, para quaisquer \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},
\overrightarrow{u}\bigoplus\bigl(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\bigr)=\bigl(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\bigr)\bigoplus\overrightarrow{w}.
Calcule primeiro \overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w} pela definição:
\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}=\left(x_{2}+x_{3},\,y_{2}\right).
Então
\overrightarrow{u}\bigoplus\bigl(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\bigr) =\overrightarrow{u}\bigoplus\left(x_{2}+x_{3},\,y_{2}\right) =\left(x_{1}+(x_{2}+x_{3}),\,y_{1}\right) =\left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}\right).
Agora calcule \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v} e depois some com \overrightarrow{w}:
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}\right),
\bigl(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\bigr)\bigoplus\overrightarrow{w} =\left((x_{1}+x_{2})+x_{3},\,y_{1}\right) =\left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}\right).
Os dois resultados coincidem exatamente para quaisquer x_i,y_i. Portanto a operação \bigoplus é associativa.

Passo 4

Resumo didático curto (para a hora da prova): a primeira componente da soma é sempre a soma dos x-componentes e é manipulada de forma associativa/ comutativa porque é soma em \mathbb{R}; a segunda componente fica igual ao y do primeiro vetor da operação, por isso trocar a ordem muda, em geral, a segunda componente, quebrando a comutatividade. Entretanto, mudar a forma de colocar parênteses não altera qual é o “primeiro” vetor quando se calcula a segunda componente do resultado final (continua sendo y_{1}), por isso a associatividade permanece válida.

Resposta

Comutativa: Não (em geral não; somente se y_{1}=y_{2}).
Associativa: Sim.

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