No
, defina-se uma “adição” não usual de vetores
\overrightarrow{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{w}=\left(x_{3}, y_{3}\right)
por:
Verifique se são válidas as propriedades comutativa e associativa do espaço vetorial em tal sistema.
a) Comutativa:
\overrightarrow{u} \oplus \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \bigoplus \overrightarrow{u}
Associativa:
\overrightarrow{u} \bigoplus(\overrightarrow{v} \bigoplus \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u} \bigoplus \overrightarrow{v}) \bigoplus \overrightarrow{w}
\overrightarrow{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{w}=\left(x_{3}, y_{3}\right)
por:
a) Comutativa:
\overrightarrow{u} \oplus \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \bigoplus \overrightarrow{u}
Associativa:
\overrightarrow{u} \bigoplus(\overrightarrow{v} \bigoplus \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u} \bigoplus \overrightarrow{v}) \bigoplus \overrightarrow{w}
Passo 1
O enunciado nos dá no espaço
três vetores
,
,
e uma “adição” não usual definida por
As perguntas pedem para verificar as propriedades:
- Comutativa:
para todos . - Associativa:
para todos .
Passo 2
O que significa ser comutativa? Significa que, para quaisquer
e
, a operação dá o mesmo resultado trocando a ordem. Vamos calcular os dois lados usando a definição.
Calcule
:
Calcule
:
Compare componente a componente:
- A primeira componente:
— isto é sempre verdadeiro porque a soma em é comutativa. - A segunda componente:
versus . Essas só são iguais se, especificamente, .
Portanto, em geral
, a menos que
. Para deixar mais concreto, um contraexemplo numérico: tome
e
. Então
que são diferentes. Logo a propriedade comutativa não vale em geral.
Passo 3
Agora verifiquemos associatividade. A definição de associatividade pede que, para quaisquer
,
Calcule primeiro
pela definição:
Então
Agora calcule
e depois some com
:
Os dois resultados coincidem exatamente para quaisquer
. Portanto a operação
é associativa.
Passo 4
Resumo didático curto (para a hora da prova): a primeira componente da soma é sempre a soma dos
-componentes e é manipulada de forma associativa/ comutativa porque é soma em
; a segunda componente fica igual ao
do primeiro vetor da operação, por isso trocar a ordem muda, em geral, a segunda componente, quebrando a comutatividade. Entretanto, mudar a forma de colocar parênteses não altera qual é o “primeiro” vetor quando se calcula a segunda componente do resultado final (continua sendo
), por isso a associatividade permanece válida.
Resposta
Comutativa: Não (em geral não; somente se
).
Associativa: Sim.
Associativa: Sim.