Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
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O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores
.
O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se o conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores
é um subespaço de
. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais, e vamos precisar mostrar que esse conjunto contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. A matriz zero em
é
que claramente tem entrada acima da diagonal principal igual a zero. Logo, o zero pertence ao conjunto.
Passo 3
Verificamos a clausura sob adição. Sejam duas matrizes triangulares inferiores
e
:
Então
que é novamente triangular inferior.
Passo 4
Verificamos a clausura sob multiplicação por escalar. Para
e
como acima,
que é triangular inferior.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores
é um subespaço vetorial de
.