Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R^2 times 2.
O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2times2 é um subespaço de R^2times2. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais, e vamos precisar mostrar que esse conjunto contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. A matriz zero em R^2times2 é
0 = 0 & 00 & 0,
que claramente tem entrada acima da diagonal principal igual a zero. Logo, o zero pertence ao conjunto.

Passo 3

Verificamos a clausura sob adição. Sejam duas matrizes triangulares inferiores e :
Então
que é novamente triangular inferior.

Passo 4

Verificamos a clausura sob multiplicação por escalar. Para lambdainR e A como acima,
lambda A = lambda a & lambdacdot 0lambda c & lambda d = lambda a & 0lambda c & lambda d,
que é triangular inferior.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2times2 é um subespaço vetorial de R^2times2.

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