Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R^2.
(x1, x2)^T / x1=3 x2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = l(x1,x2)^Tin R^2mid x1=3x2r
e pede para decidir se S é um subespaço de R^2.
O que precisamos lembrar é que um subespaço vetorial deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0)^T está em S.
Como 0 = 3cdot 0, temos
(0,0)^Tin S
Logo, o zero pertence a S.

Passo 3

Testamos a clausura sob adição.
Sejam (x1,x2)^T e (y1,y2)^T vetores em S. Então
x1=3x2 e y1=3y2
A soma é
(x1,x2)^T + (y1,y2)^T = (,x1+y1,,x2+y2,)^T
Mas x1+y1=3x2+3y2=3(x2+y2),
logo a soma também satisfaz a condição e pertence a S.

Passo 4

Testamos a clausura sob multiplicação escalar.
Se (x1,x2)^Tin S e cin R, então x1=3x2 e
c,(x1,x2)^T = (,c,x1,,c,x2,)^T
Como c,x1=c,(3x2)=3,(c,x2),
vemos que c,(x1,x2)^T também satisfaz a relação e fica em S.

Resposta

S é um subespaço de R^2.

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