6 Obtenha todos os pontos do plano pi1: x-y+2 z=2 que pertencem ao plano pi2: 2 x-y+3 z=4.

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos do plano pi1:x - y + 2z = 2 que também satisfazem o plano pi2:2x - y + 3z = 4. O conteúdo aqui é encontrar a reta de interseção de dois planos em R^3, ou seja, resolver o sistema de duas equações lineares com três incógnitas e então introduzir um parâmetro.

Passo 2

Subtraímos a equação de pi1 da de pi2 para eliminar y.
(2x - y + 3z) ;-;(x - y + 2z);=;4 - 2
Isso dá
2x - y + 3z - x + y - 2z = 2
x + z = 2

Passo 3

Da relação x + z = 2 isolamos x:
x = 2 - z

Passo 4

Substituímos x = 2 - z na equação de pi1:
(2 - z) - y + 2z = 2
2 + z - y = 2
z - y = 0
y = z

Passo 5

Como sobra uma variável livre, escolhemos t = z. Assim
x = 2 - t, y = t, z = t
Em forma de equação paramétrica, todos os pontos de interseção são
(x,y,z) = (2 - t,;t,;t), tinR

Resposta

(x,y,z)mid x=2-t,;y=t,;z=t,;tinR

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