Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de .
O conjunto de todas as matrizes simétricas .
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
das matrizes simétricas é um subespaço de . Vamos usar a definição de subespaço: precisamos mostrar que (i) o zero está em , (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
satisfaz O^T = O. Logo, O in S.
Passo 3
Sejam A,Bin S. Então A^T = A e B^T = B. Para a soma temos
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
ou seja, A+B também é simétrica e pertence a S. Assim, S é fechado sob soma.
Passo 4
Seja Ain S e seja lambdainR. Então
(lambda A)^T = lambda,A^T = lambda A,
logo lambda A é simétrica. Portanto, S é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes simétricas 2times2 é um subespaço de R^2times 2.