Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R^2 times 2.
O conjunto de todas as matrizes simétricas 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
S = Ain R^2times 2mid A^T = A
das matrizes simétricas é um subespaço de R^2times 2. Vamos usar a definição de subespaço: precisamos mostrar que (i) o zero está em S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
O = 0 & 0 0 & 0
satisfaz O^T = O. Logo, O in S.

Passo 3

Sejam A,Bin S. Então A^T = A e B^T = B. Para a soma temos
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
ou seja, A+B também é simétrica e pertence a S. Assim, S é fechado sob soma.

Passo 4

Seja Ain S e seja lambdainR. Então
(lambda A)^T = lambda,A^T = lambda A,
logo lambda A é simétrica. Portanto, S é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes simétricas 2times2 é um subespaço de R^2times 2.

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