Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de 
  (conjunto das matrizes 2 por 2 ).
O conjunto de todas as matrizes 
  tais que 
 .
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um conjunto de matrizes 2x2 onde o elemento da primeira linha e primeira coluna, aquele 
 , é igual a zero. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de 
 , que é o conjunto de todas as matrizes 2 por 2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar algumas propriedades básicas dos subespaços vetoriais, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se esse conjunto contém a matriz zero. A matriz zero é aquela em que todos os elementos são iguais a zero:
Como 
  nessa matriz, ela pertence ao nosso conjunto. Isso é bom, porque um subespaço sempre precisa conter o vetor (ou matriz) zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer desse conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos chamar duas matrizes do conjunto de 
  e 
 :
Somando 
 , temos:
$$
A + B =
$$
Vemos que o elemento  da matriz resultante também é zero. Então, 
  está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Vemos que o elemento
Passo 4
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos uma matriz qualquer do conjunto e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto. Seja 
  um escalar real e 
  uma matriz do conjunto:
Multiplicando por 
 , temos:
$$
cA =
$$
Novamente, o elemento  permanece zero após a multiplicação. Logo, 
  também está no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Novamente, o elemento
Resposta
Como o conjunto de todas as matrizes 
  com 
  contém a matriz zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de 
 .