Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de 
 .
 
Passo 1
Vamos analisar o seguinte conjunto: 
 . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de 
 . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero 
  está no conjunto. Substituindo 
  na equação 
 , temos:
Então, o ponto seria 
 , e não 
 . Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas vamos verificar as outras condições para entender melhor.
Passo 3
Mesmo já sabendo que o vetor zero não está no conjunto, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores no conjunto: 
  e 
 , onde 
  e 
 . Somando esses vetores:
Para que essa soma esteja no conjunto, precisaríamos que:
O que não é verdade, já que 
 . Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos também verificar a multiplicação por escalar. Seja 
  um escalar qualquer e 
  com 
 . Multiplicando por 
 :
Para que 
  esteja no conjunto, precisaríamos que:
Isso implica que 
 . Como isso só é verdadeiro para 
 , o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar geral.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de 
 .