Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros múltiplos de 7 .
Os inteiros múltiplos de 7 .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente olhar o conjunto
,
que são todos os inteiros que são múltiplos de 7.
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos: vamos decidir se esse conjunto é finito, infinito enumerável ou não-enumerável, e como ele se comporta.
Para resolver, a gente vai usar:
que são todos os inteiros que são múltiplos de 7.
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos: vamos decidir se esse conjunto é finito, infinito enumerável ou não-enumerável, e como ele se comporta.
Para resolver, a gente vai usar:
- Conceito de conjunto finito vs. infinito;
- Definição de conjunto enumerável (ou contável);
- Como construir uma enumeração (lista) quando for enumerável.
Passo 2
Primeiro, finito ou infinito?
Um conjunto é finito quando tem um número limitado de elementos.
Mas aqui, pra cada inteiro eu consigo um múltiplo
.
Como os inteiros são infinitos, também são infinitos os múltiplos de 7.
Logo, é infinito.
Um conjunto é finito quando tem um número limitado de elementos.
Mas aqui, pra cada inteiro
Como os inteiros
Logo,
Passo 3
Agora, é enumerável ou não-enumerável?
Enumerável (ou contável) significa que dá pra listar todos os elementos em sequência, associando cada elemento a um número natural ou inteiro.
A gente pode definir a função
Enumerável (ou contável) significa que dá pra listar todos os elementos em sequência, associando cada elemento a um número natural ou inteiro.
A gente pode definir a função
Essa função é bijetora (cada
dá um múltiplo único e todo múltiplo vem de algum
), então há um “jeito de listar” todos os múltiplos de 7.
Isso prova que é infinito enumerável.
Isso prova que
Passo 4
Como é enumerável, vamos mostrar uma enumeração prática.
Um truque comum é começar por 0, depois os positivos e negativos em ordem crescente de valor absoluto. Assim, os 10 primeiros termos podem ser:
Um truque comum é começar por 0, depois os positivos e negativos em ordem crescente de valor absoluto. Assim, os 10 primeiros termos podem ser:
Resposta
O conjunto dos inteiros múltiplos de 7 é infinito enumerável.
Uma enumeração dos 10 primeiros elementos é:
Uma enumeração dos 10 primeiros elementos é: