Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros múltiplos de 7 .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente olhar o conjunto
,
que são todos os inteiros que são múltiplos de 7.
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos: vamos decidir se esse conjunto é finito, infinito enumerável ou não-enumerável, e como ele se comporta.
Para resolver, a gente vai usar:
  • Conceito de conjunto finito vs. infinito;
  • Definição de conjunto enumerável (ou contável);
  • Como construir uma enumeração (lista) quando for enumerável.

Passo 2

Primeiro, finito ou infinito?
Um conjunto é finito quando tem um número limitado de elementos.
Mas aqui, pra cada inteiro eu consigo um múltiplo .
Como os inteiros são infinitos, também são infinitos os múltiplos de 7.
Logo, é infinito.

Passo 3

Agora, é enumerável ou não-enumerável?
Enumerável (ou contável) significa que dá pra listar todos os elementos em sequência, associando cada elemento a um número natural ou inteiro.
A gente pode definir a função
f:Zto M, f(k)=7k
Essa função é bijetora (cada dá um múltiplo único e todo múltiplo vem de algum ), então há um “jeito de listar” todos os múltiplos de 7.
Isso prova que é infinito enumerável.

Passo 4

Como é enumerável, vamos mostrar uma enumeração prática.
Um truque comum é começar por 0, depois os positivos e negativos em ordem crescente de valor absoluto. Assim, os 10 primeiros termos podem ser:
0,;7,;-7,;14,;-14,;21,;-21,;28,;-28,;35,;dots

Resposta

O conjunto dos inteiros múltiplos de 7 é infinito enumerável.
Uma enumeração dos 10 primeiros elementos é:
0,;7,;-7,;14,;-14,;21,;-21,;28,;-28,;35

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