Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros menores que 100 .
Os inteiros menores que 100 .
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente analisar o conjunto
e decidir se ele é finito, infinito enumerável ou não enumerável.
Matéria: noções de cardinalidade de conjuntos (finito vs. infinito, infinito enumerável vs. não enumerável).
O que vamos precisar:
Matéria: noções de cardinalidade de conjuntos (finito vs. infinito, infinito enumerável vs. não enumerável).
O que vamos precisar:
- Definição de conjuntos finitos e infinitos.
- Definição de infinito enumerável (dar pra “listar” os elementos).
- Saber que os inteiros
são infinitos enumeráveis e ver como isso vale pros inteiros < 100.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esses termos significam, de um jeito bem tranquilo:
- Conjunto finito: tem um número limitado de elementos (tipo,
). - Conjunto infinito: não dá pra contar até o último elemento (vai sempre ter mais).
- Infinito enumerável: embora seja infinito, dá pra fazer uma lista dos elementos (um de cada vez) e, em princípio, essa lista pega todo mundo. Exemplo clássico:
. - Não enumerável: nem com lista infinitamente longa você consegue abranger todos (exemplo: os números reais entre 0 e 1).
Agora, o nosso
contém todos os inteiros menores que 100, ou seja,
. Note que, embora ele tenha um “topo” em 99, não tem “fundo”: ele vai descendo indefinidamente pelos negativos. Logo:
- Não é finito (sempre tem mais números negativos).
- Vai ser infinito.
- É um subconjunto de
, que já sabemos ser enumerável. E como podemos listar todos esses números (uma lista simples), concluímos que é infinito enumerável.
Passo 3
Pra mostrar que é enumerável na prática, é só apresentar uma enumeração que “pegue” todo mundo. A gente pode, por exemplo, listar em ordem decrescente a partir de 99:
Essa lista continua indefinidamente (89, 88, 87, …, 0, –1, –2, …), então cubre todo o conjunto
.
Os 10 primeiros elementos dessa enumeração são:
Resposta
O conjunto dos inteiros menores que 100 é infinito enumerável.
Uma enumeração que mostra isso, com os 10 primeiros elementos, é
Uma enumeração que mostra isso, com os 10 primeiros elementos, é