Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros menores que 100 .

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente analisar o conjunto
A = ,n in Z mid n < 100
e decidir se ele é finito, infinito enumerável ou não enumerável.
Matéria: noções de cardinalidade de conjuntos (finito vs. infinito, infinito enumerável vs. não enumerável).
O que vamos precisar:
  • Definição de conjuntos finitos e infinitos.
  • Definição de infinito enumerável (dar pra “listar” os elementos).
  • Saber que os inteiros são infinitos enumeráveis e ver como isso vale pros inteiros < 100.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esses termos significam, de um jeito bem tranquilo:
  • Conjunto finito: tem um número limitado de elementos (tipo, ).
  • Conjunto infinito: não dá pra contar até o último elemento (vai sempre ter mais).
  • Infinito enumerável: embora seja infinito, dá pra fazer uma lista dos elementos (um de cada vez) e, em princípio, essa lista pega todo mundo. Exemplo clássico: .
  • Não enumerável: nem com lista infinitamente longa você consegue abranger todos (exemplo: os números reais entre 0 e 1).
Agora, o nosso contém todos os inteiros menores que 100, ou seja, . Note que, embora ele tenha um “topo” em 99, não tem “fundo”: ele vai descendo indefinidamente pelos negativos. Logo:
  1. Não é finito (sempre tem mais números negativos).
  2. Vai ser infinito.
  3. É um subconjunto de , que já sabemos ser enumerável. E como podemos listar todos esses números (uma lista simples), concluímos que é infinito enumerável.

Passo 3

Pra mostrar que é enumerável na prática, é só apresentar uma enumeração que “pegue” todo mundo. A gente pode, por exemplo, listar em ordem decrescente a partir de 99:
99,;98,;97,;96,;95,;94,;93,;92,;91,;90,;dots
Essa lista continua indefinidamente (89, 88, 87, …, 0, –1, –2, …), então cubre todo o conjunto 99,;98,;97,;96,;95,;94,;93,;92,;91,;90 .
Os 10 primeiros elementos dessa enumeração são:

Resposta

O conjunto dos inteiros menores que 100 é infinito enumerável.
Uma enumeração que mostra isso, com os 10 primeiros elementos, é
99,,98,,97,,96,,95,,94,,93,,92,,91,,90

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