Determine se cada equação dada abaixo é exata. Se a equação é exata, resolva. Se a equação não é exata, encontre um fator de integraçõ tal que multiplicando a equação dada pelo fator de integraçõ, a torne exata e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
e pede para verificar se ela é exata. Esse é um problema de equação diferencial exata, onde definimos
e testamos a condição de exatidão
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para resolver, buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função só de
. Agora, derivando essa
em relação a
:
Igualando a
, temos
Passo 4
Logo, a solução implícita da equação é dada por
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e a solução geral é