Determine se cada equação dada abaixo é exata. Se a equação é exata, resolva. Se a equação não é exata, encontre um fator de integraçõ tal que multiplicando a equação dada pelo fator de integraçõ, a torne exata e resolva.
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
(2 x y^{2}+2 y)\,dx + (2 x^{2} y+2 x)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Esse é um problema de equação diferencial exata, onde definimos
M(x,y)=2x y^2+2y, \quad N(x,y)=2x^2 y+2x
e testamos a condição de exatidão \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2x y^2+2y) =4xy+2,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x^2 y+2x) =4xy+2.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para resolver, buscamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x = M \quad\text{e}\quad \phi_y = N.
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) =\int (2x y^2+2y)\,dx =x^2y^2+2xy + h(y),
onde h(y) é função só de y. Agora, derivando essa \varphi em relação a y:
\phi_y =2x^2y+2x + h'(y).
Igualando a N, temos
2x^2y+2x + h'(y) \;=\;2x^2y+2x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=\text{constante}.

Passo 4

Logo, a solução implícita da equação é dada por
\varphi(x,y)=x^2y^2+2xy=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
x^2y^2 + 2xy = C.

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