Resolva: Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).
t y^{\prime}+2 y=4 t^{2}, \quad \mathrm{y}(1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
t\,y' + 2\,y = 4\,t^2,
com condição inicial y(1)=2.
O conteúdo é método do fator integrante para resolver equações lineares da forma
y' + p(t)\,y = q(t).

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por t (supondo t\neq0):
y' + \frac{2}{t}\,y = 4\,t.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \tfrac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp(2\ln|t|) = t^2.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
t^2 y' + 2t\,y = 4t^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(t^2 y\bigr) = 4t^3.
Integrando ambos os lados,
t^2 y = \int 4t^3\,dt = t^4 + C,
logo a solução geral é
y(t) = t^2 + C\,t^{-2}.

Passo 3

Para satisfazer a condição y(1)=2 substituímos t=1:
1^2 + C\cdot1^{-2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 1.
Dessa forma a solução particular é
y(t) = t^2 + t^{-2}.

Passo 4

O campo de direções associa a cada ponto (t,y) a inclinação
y' = 4t - \frac{2\,y}{t}.
Para esboçar o campo, num reticulado de pontos (t_i,y_j) desenhe pequenos segmentos de reta com inclinação dada por essa fórmula.
Em seguida, plote várias curvas da família
y(t) = t^2 + C\,t^{-2}
para valores distintos de C (por exemplo C=-1,0,1,2) no mesmo plano. A curva com C=1 passa por (1,2) e é a solução que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(t) = t^2 + t^{-2},
campo de direções dado por y' = 4t - 2y/t e esboço das curvas y(t)=t^2 + C\,t^{-2} para vários C.

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