Exercício 10: Seja
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right),
\operatorname{com}(x, y) \in U=\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}.
Calcule \oint_{C_{2}^{+}} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C_{2} é a fronteira do quadrado D=[-1,1] \times \times[-1,1], orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{C_{2}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde
\vec{F}(x,y)=\Bigl(\tfrac{-y}{x^{2}+y^{2}},\,\tfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)
está definida em U=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, e C_{2} é a fronteira do quadrado D=[-1,1]\times[-1,1] orientada no sentido anti-horário.
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial com singularidade no interior, uso do Teorema de Green em domínios com furo e cálculo de circulação em um círculo pequeno que envolve a singularidade.

Passo 2

Como \vec{F} não é definida em (0,0), não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green sobre todo D. Retiramos um disco de raio \varepsilon>0 centrado em (0,0). Seja
D_{\varepsilon}=D\setminus\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<\varepsilon^{2}\}.
As fronteiras de D_{\varepsilon} são: o quadrado C_{2} orientado anti-horário e o círculo C_{\varepsilon} (de raio \varepsilon) orientado horário (para manter a orientação usual de contorno do domínio).

Passo 3

O Teorema de Green diz que, como \nabla\times\vec{F}=0 em D_{\varepsilon}, vale
\oint_{C_{2}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r} \;+\;\oint_{C_{\varepsilon}^{-}}\vec{F}\cdot d\vec{r} \;=\; \iint_{D_{\varepsilon}} \bigl(\tfrac{\partial}{\partial x}\tfrac{x}{x^{2}+y^{2}} -\tfrac{\partial}{\partial y}\tfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dA =0.
Como \oint_{C_{\varepsilon}^{-}}=-\oint_{C_{\varepsilon}^{+}}, obtemos
\oint_{C_{2}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\oint_{C_{\varepsilon}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 4

Parametrizamos o círculo pequeno C_{\varepsilon}^{+} por
\vec{r}(t)=(\varepsilon\cos t,\;\varepsilon\sin t),\quad 0\le t\le2\pi,
de modo que
\vec{F}(\vec{r}(t)) =\bigl(-\tfrac{\varepsilon\sin t}{\varepsilon^{2}},\,\tfrac{\varepsilon\cos t}{\varepsilon^{2}}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{\varepsilon},\,\tfrac{\cos t}{\varepsilon}\Bigr),
\vec{r}\,'(t)=(-\varepsilon\sin t,\;\varepsilon\cos t).
Logo o produto escalar é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{\varepsilon}\Bigr)(-\varepsilon\sin t) +\Bigl(\tfrac{\cos t}{\varepsilon}\Bigr)(\varepsilon\cos t) =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto
\oint_{C_{\varepsilon}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 5

Como \oint_{C_{2}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C_{\varepsilon}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r}, concluímos que
\oint_{C_{2}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\pi.

Resposta

\oint_{C_{2}^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\pi.

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