Exercício 10: Seja
.
Calcule
, onde
é a fronteira do quadrado
, orientada no sentido anti-horário.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
está definida em
, e
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido anti-horário.
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial com singularidade no interior, uso do Teorema de Green em domínios com furo e cálculo de circulação em um círculo pequeno que envolve a singularidade.
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial com singularidade no interior, uso do Teorema de Green em domínios com furo e cálculo de circulação em um círculo pequeno que envolve a singularidade.
Passo 2
Como
não é definida em
, não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green sobre todo
. Retiramos um disco de raio
centrado em
. Seja
As fronteiras de
são: o quadrado
orientado anti-horário e o círculo
(de raio
) orientado horário (para manter a orientação usual de contorno do domínio).
Passo 3
O Teorema de Green diz que, como
em
, vale
Como
, obtemos
Passo 4
Parametrizamos o círculo pequeno
por
de modo que
Logo o produto escalar é
Portanto
Passo 5
Como
, concluímos que