Determine se cada equação é linear em x_{1}, x_{2} e x_{3}.
x_{1}+5 x_{2} + \sqrt{2} x_{3}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
x_{1}+5x_{2}+\sqrt{2}\,x_{3}=1
e pede para determinar se ela é linear nas incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}. Informações fornecidas:
  • Os termos que envolvem variáveis são \,x_{1}, \,5x_{2} e \,\sqrt{2}\,x_{3}.
  • O lado direito é a constante \,1.

Passo 2

Definição (explicada passo a passo): uma equação em \,x_{1},x_{2},x_{3} é linear se puder ser escrita na forma
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b,
onde \,a_{1},a_{2},a_{3} e \,b são constantes (números fixos). Significa concretamente:
  • Cada variável aparece apenas com expoente 1 (ou seja, não aparecer x_{i}^{2}, x_{i}^{3}, etc.).
  • Não há produtos entre variáveis (não pode aparecer algo como x_{1}x_{2}).
  • Não há funções não lineares das variáveis (como \sin(x_{1}), \sqrt{x_{2}}, e^{x_{3}}, etc.).
  • Os coeficientes \,a_{i} podem ser quaisquer números reais (podem ser inteiros, racionais, irracionais como \sqrt{2}, negativos, etc.).

Passo 3

Compare a equação dada com a forma geral:
  • Identificando coeficientes: \,a_{1}=1, \,a_{2}=5, \,a_{3}=\sqrt{2} e \,b=1.
  • Observação: \sqrt{2} é apenas um número real (irracional), portanto é um coeficiente aceitável na forma linear.

Passo 4

Verificações contra as condições de linearidade:
  • Cada variável \,x_{1},x_{2},x_{3} aparece com expoente 1.
  • Não há produtos entre variáveis (não existe termo como \,x_{1}x_{2}).
  • Não há funções não lineares aplicadas às variáveis.
    Logo, nenhum dos impedimentos à linearidade aparece.

Passo 5

Dica rápida para a prova: ao ver uma equação, olhe se aparece alguma potência diferente de 1, algum produto entre incógnitas ou alguma função das incógnitas. Se nada disso existir e os coeficientes forem números (mesmo irracionais), a equação é linear. Por exemplo, \,x_{1}^{2}+x_{2}=0 não é linear por ter \,x_{1}^{2}, enquanto \,3x_{1}-\pi x_{2}=2 é linear.

Resposta

Sim; a equação é linear em \,x_{1},x_{2} e \,x_{3}.

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