Determine se cada equação é linear em x_{1}, x_{2} e x_{3}.
x_{1}=7 x_{2}+3 x_{3}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine se cada equação é linear em x_{1}, x_{2} e x_{3}". A equação dada é
x_{1}=7x_{2}+3x_{3}.
Portanto a tarefa única aqui é dizer se essa equação, considerada como relação entre as variáveis x_{1},x_{2},x_{3}, é linear ou não.

Passo 2

O que significa ser “linear” (explicação didática e sem jargões)? Uma equação em x_{1},x_{2},x_{3} é linear se pode ser escrita na forma
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b,
onde a_{1},a_{2},a_{3} e b são números (constantes) e:
  • cada variável aparece apenas multiplicada por uma constante (isto é, como a_{i}x_{i});
  • não há produtos entre variáveis (como x_{1}x_{2});
  • não há potências das variáveis diferentes de 1 (como x_{2}^{2});
  • não há funções não-lineares aplicadas às variáveis (como \sin x_{1}, e^{x_{2}}, etc.).
    Essencialmente, a equação é linear se for uma combinação linear das variáveis igual a uma constante.

Passo 3

Vamos pôr a equação fornecida na forma padrão a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b. Partimos de
x_{1}=7x_{2}+3x_{3}
e subtraímos 7x_{2}+3x_{3} dos dois lados para agrupar tudo à esquerda:
x_{1}-7x_{2}-3x_{3}=0.

Passo 4

Agora identifiquemos os coeficientes e o termo constante a partir da forma padrão:
  • a_{1}=1 (coeficiente de x_{1}),
  • a_{2}=-7 (coeficiente de x_{2}),
  • a_{3}=-3 (coeficiente de x_{3}),
  • b=0 (termo constante).
    Isso mostra que a equação se encaixa exatamente no modelo a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b.

Passo 5

Verificação das condições de linearidade: na expressão x_{1}-7x_{2}-3x_{3}=0 as variáveis aparecem apenas em termos do tipo constante vezes variável, não há produtos entre variáveis, não há expoentes diferentes de 1 nem funções não-lineares. Portanto todas as condições da definição de equação linear estão satisfeitas.

Passo 6

Outra interpretação útil (rápida): a equação pode ser vista como um produto escalar
(1,-7,-3)\cdot(x_{1},x_{2},x_{3})=0,
ou seja, é uma combinação linear das variáveis igual a uma constante. Isso reforça que é uma equação linear. Um comentário extra e motivador: como b=0, trata-se de uma equação linear homogênea — só para lembrar o termo, caso apareça na prova.

Resposta

Sim. A equação é linear em x_{1},x_{2},x_{3}.

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