Determine se cada equação é linear em
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine se cada equação é linear em
e
". A equação dada é
Portanto a tarefa única aqui é dizer se essa equação, considerada como relação entre as variáveis
, é linear ou não.
Passo 2
O que significa ser “linear” (explicação didática e sem jargões)? Uma equação em
é linear se pode ser escrita na forma
onde
e
são números (constantes) e:
- cada variável aparece apenas multiplicada por uma constante (isto é, como
); - não há produtos entre variáveis (como
); - não há potências das variáveis diferentes de
(como ); - não há funções não-lineares aplicadas às variáveis (como
, , etc.).
Essencialmente, a equação é linear se for uma combinação linear das variáveis igual a uma constante.
Passo 3
Vamos pôr a equação fornecida na forma padrão
. Partimos de
e subtraímos
dos dois lados para agrupar tudo à esquerda:
Passo 4
Agora identifiquemos os coeficientes e o termo constante a partir da forma padrão:
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo constante).
Isso mostra que a equação se encaixa exatamente no modelo.
Passo 5
Verificação das condições de linearidade: na expressão
as variáveis aparecem apenas em termos do tipo constante vezes variável, não há produtos entre variáveis, não há expoentes diferentes de
nem funções não-lineares. Portanto todas as condições da definição de equação linear estão satisfeitas.
Passo 6
Outra interpretação útil (rápida): a equação pode ser vista como um produto escalar
ou seja, é uma combinação linear das variáveis igual a uma constante. Isso reforça que é uma equação linear. Um comentário extra e motivador: como
, trata-se de uma equação linear homogênea — só para lembrar o termo, caso apareça na prova.
Resposta
Sim. A equação é linear em
.