(4 pontos) Encontre a inversa da matriz abaixo, se essa inversa existir.
\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 7 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 2\times2 e pede para encontrar a sua inversa, se ela existir. A matriz fornecida é:
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 4 \\\\ 2 & 7 \end{array}\right]
O que se pede:
  • Determinar A^{-1}, a matriz inversa de A, quando ela existir.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula para matriz 2\times2). Se
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
então o determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
A inversa existe se, e somente se, \det(A)\neq 0. Nesse caso a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix}.
Vou aplicar essa fórmula à matriz dada.

Passo 3

Identifico a,b,c,d a partir de A:
a=1,\quad b=4,\quad c=2,\quad d=7.
Calculo o determinante usando \det(A)=ad-bc:
\det(A)=1\cdot7-4\cdot2=7-8=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, a inversa existe.

Passo 4

Formo a matriz adjunta trocando a e d e mudando o sinal de b e c:
\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\\\ -2 & 1 \end{pmatrix}.
Agora multiplico essa matriz por 1/\det(A). Como \det(A)=-1, temos 1/\det(A)=-1. Portanto
A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 7 & -4 \\\\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -1\cdot\begin{pmatrix} 7 & -4 \\\\ -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicando o escalar -1 em cada entrada:
A^{-1}=\begin{pmatrix} -7 & 4 \\\\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): multiplicar A por A^{-1} e ver se dá a identidade.
A A^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]2 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-7 & 4\\[2pt]2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-7)+4\cdot2 & 1\cdot4+4\cdot(-1)\\[4pt] 2\cdot(-7)+7\cdot2 & 2\cdot4+7\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7+8 & 4-4\\[4pt] -14+14 & 8-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Deu a matriz identidade, então a inversa está correta.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}-7 & 4 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}]

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